ویرایش و گسترش متن کوتاهی که مهدیس امامی دانشجوی دکتری ریاضی دانشگاه تهران در لینکدین به اشتراک گذاشته است

---

خیلی وقت‌ها پیش میآد، از آنهایی که در مسیر هندسهٔ توپولوژیک هستند، می‌پرسند آیا این هندسه ارتباطی با آن مدل هندسه‌ای که در دبیرستان می‌خواندیم دارد؟ یا برعکس این سؤال؛ یعنی این هندسهٔ مسطحهٔ دبیرستان، امتدادی در فضای آکادمیک دارد؟
مسئله این است که هندسهٔ مسطحه مقدماتی اولین جایی است که ما با دیدگاه اصل موضوعی» با ریاضیات برخورد می‌کنیم (دیدگاهی که در هندسه با اقلیدس شروع شد و ۲۲۰۰ سال بعد، توسط هیلبرت کامل شد)؛ جنسی از ریاضیات که خیلی روشن از روش‌های استدلال منطقی وام می‌گیرد و انگار کل این هندسه روی زیربنای یک‌سری قید تحت عنوان اصول موضوعه» بنا می‌شود. اصولی که از هم مستقل هستند و از هم نتیجه نمی‌شوند؛ همچنین حذف هرکدام، هندسهٔ مورد مطالعه را ناقص می‌کند. این ساختار در واقع تمرینی عالی برای کار کردن با منطق اصل موضوعی است؛ در نتیجه وقتی به عنوان یک ریاضی‌خوان تازه کار با منطق مواجه می‌شویم، چون قبلاً با یک مصداقش روبه‌رو شده‌ایم، به درک درست‌تری نزدیک می‌شویم
اما این هندسه عملاً فراتر از مصداق یک ساختار منطقی است. در واقع هندسهٔ مسطحه، به همان اندازه، یک مصداق برای موضوعی با عنوان فضاهای متریک در آنالیز، یکی از مهم ترین شاخه های ریاضی است. بی دلیل نیست که چالز پیو در مقدمه کتاب آنالیز حقیقی اش می نویسد
اگر با هندسهٔ دبیرستان میانهٔ خوبی داشتید، این مفاهیم هم کاملاً برایتان قابل درک خواهد بود (آب خوردن!)
ببرای مثال، در هندسهٔ دبیرستان فاصلهٔ دو نقطه را طوری تعریف می‌کنیم که حتی با یک خط‌کش معمولی هم بتوان آن را اندازه گرفت. مثلاً می‌گوییم فاصلهٔ این دو نقطه پنج سانتی‌متر است و با خط‌کش آن‌ها را به فاصلهٔ پنج سانتی‌متر از هم قرار می‌دهیم

این ایده آن‌قدر طبیعی است که معمولاً به ویژگی‌های آن فکر نمی‌کنیم. یک قدم جلوتر برویم. دو نقطه را در یک دستگاه مختصات در نظر بگیرید. فاصلهٔ این دو نقطه را با استفاده از قضیهٔ فیثاغورث اندازه می‌گیریم که در واقع ادامهٔ همان اندازه‌گیری قبلی است

فرمول آن چنین است: فاصلهٔ افقی دو نقطه را از هم کم می‌کنیم و به توان دو می‌رسانیم، فاصلهٔ عمودی آن‌ها را نیز از هم کم می‌کنیم و به توان دو می‌رسانیم، سپس این دو مقدار را با هم جمع می‌کنیم. این همان مجموع مربعات دو ضلع در یک مثلث قائم‌الزاویه است. مقدار حاصل برابر با مربع وتر، یعنی همان پاره‌خطی است که دو نقطهٔ ما را به هم وصل می‌کند. برای به‌دست آوردن فاصله، کافی است از آن جذر بگیریم. به طور جبری، اگر یکی از نقطه‌ها

$$(a,b)$$

باشد و آن یکی نقطه

$$(c,d)$$

فاصله دو نقطه از فرمول زیر بدست می آید

$$d=\sqrt {(c-a)^2+(d-b)^2}$$

حال فرض کنید یکی از این دو نقطه مبدأ باشد و همهٔ نقطه‌هایی را در نظر بگیرید که فاصله‌شان از مبدأ یک واحد است. از لحاظ هندسی، این نقاط یک دایره را تشکیل می‌دهند. از لحاظ جبری نیز معادلهٔ آن چنین است

و از لحاظ جبری فرمول آن (که حالت خاص همان فاصله بین دو نقطه است) به شکل زیر است

$$x^2+y^2=1$$

حال فرض کنید به‌کلی یادتان رفته که برای محاسبهٔ طول باید از قضیهٔ فیثاغورث استفاده کنید، و حتی فرمول طول هم از یادتان رفته است. اولین چیزی که به ذهنتان می‌رسد این است که فاصلهٔ افقی دو نقطه را با فاصلهٔ عمودی آن‌ها جمع کنید

$$d=|c-a|+|d-b|$$

اگر یکی از این نقاط مبدأ باشد و فاصلهٔ نقطهٔ دیگر از مبدأ یک واحد در نظر گرفته شود، فرمول شما به شکل زیر درمی‌آید
$$\mathrm{}$$$$|x|+|y|=1$$

اگر شکل این رابطه را رسم کنید، احتمالاً انتظار دارید یک دایره به دست بیاید؛ زیرا قرار است همهٔ نقاطی را نشان دهد که فاصله‌شان از مبدأ یک است. اما وقتی شکل را می‌کشید، نتیجه یک مربع است

اگر در دبیرستان باشید، احتمالاً یک صفر قرمز بزرگ در انتظار شماست. اما اگر در دانشگاه و در درس آنالیز ریاضی باشید، ماجرا کمی متفاوت می‌شود
در اینجا کسی از شما می‌پرسد: آن طولی که با خط‌کش اندازه می‌گرفتید چه ویژگی‌هایی داشت؟ این ویژگی‌ها آن‌قدر بدیهی‌اند که معمولاً به چشم نمی‌آیند. مثلاً
فاصله همیشه نامنفی است.
فاصلهٔ هر نقطه از خودش صفر است.
فاصلهٔ مستقیم بین دو نقطه از مجموع فاصله‌های غیرمستقیم کمتر یا مساوی است (همان نابرابری مثلثی).
نکتهٔ جالب این است که فرمول فاصله‌ای که خودمان حدس زدیم نیز همین ویژگی‌ها را دارد. برای یک آنالیزدان، هر فرمولی که این سه ویژگی را داشته باشد یک متر محسوب می‌شود و فضایی که از آن متر استفاده می کند، یک فضای متریک نامیده مییشود، حتی اگر در آن فضا نتوان فاصلهٔ دو نقطه را با خط‌کش اندازه گرفت
با این نگاه، شکلی که قبلاً به دست آوردیم و دایره به نظر نمی‌رسید، در واقع دایره‌ای است در یک فضای متریک دیگر؛ فضایی که در آن «متر» با جمع کردن فاصلهٔ افقی و عمودی تعریف شده است
این فقط یک مثال از ده‌ها نوع تفکر در ریاضیات پیشرفته است که ریشه‌ها، مثال‌ها یا مصداق‌های آن‌ها را می‌توان در هندسهٔ مقدماتی پیدا کرد. به همین دلیل جدی گرفتن هندسه به ما این امکان را می‌دهد که ایده‌ای را که به چندین ایدهٔ بزرگ‌تر متصل است، در فضایی قابل لمس تجربه کنیم و از آن برای فهم فضاها و مفاهیمی که کمتر قابل لمس هستند کمک بگیریم