Categories
Category: Number Conception
Categories
در ستایش علامت منفی
در ستایش علامت منفی ترجمه ی مقاله ی زیر است
Amir Asghari, In Praise of the Minus Sign , For the Learning of Mathematics, 40, 2, July 2020.
ترجمه را اطهر فیروزیان انجام داده، جوری که ترجمه از متن اصلی روان تر است
Categories
در ستایش علامت منفی
در ریاضی چنین می کنند
چند وقت پیش یه فیلم کوچولو با همین عنوان به اشتراک گذاشتم (فیلم را در پایین این نوشته ببینید.) ولی فکر می کنم بدون یه توضیح اضافی خیلی درک نشه. هدف این نوشته دادن آن توضیح است که در واقع مهمترین بخش مقاله ای است که به زودی منتشر خواهد شد. بعلاوه، جمله ی زیر هم از کتاب ریاضی ششم رمز گشایی می شود
در ریاضی برای نمایش اعدادی که در دو موقعیت مختلف مانند بالای صفر و زیر صفر به کار می روند از علامت های + و – استفاده می کنیم
خاطره ای از مرحوم میرزا جلیلی نازنین
فکر نمی کنم این خاطره جایی مکتوب شده باشد (اگر شده من نمی دانم و لطفا بگویید که به آن ارجاع دهم). آن زمان های جاهلی و جوانی که در دفتر تالیف «کار» می کردم این شانس رو داشتم که گهگاهی به خاطرات مرحوم جلیلی گوش کنم. یه روز تعریف می کردند اون قدیم ها وقتی داشتن کتاب می نوشتن، وقتی به اعداد منفی رسیدند می خواستند مثل کتاب های درسی فرانسه وقتی اون رو معرفی می کنند، علامت منفی رو بالا و سمت چپ عدد قرار بدهند که از علامت منهی متمایز بشه. ولی امکانات حروف چینی اون زمان اجازه ی این کار رو بهشون نمی ده و مجبور می شن، از همان روش معمول نمایش اعداد منفی استفاده کنند. اون وقت ها، این برای من از این لحاظ جالب بود که فکر می کردم این تمایز باید ایجاد بشه. ولی حالا بعد از این همه سال، تازه پی بردم که نباید بشه و اینکه «در ریاضی» از این علامت ها استفاده می شه دلیل داره
علامت ها قبل از اعداد صحیح
به طور تاریخی، قوانین علامت ها قبل از اینکه ملت اعداد منفی را به رسمیت بشناسن، مورد احترام و استفاده بوده. این یعنی که از مثلا «منفی در منفی مثبت است» استفاده می کردند بدون اینکه اعداد منفی را بشناسند یا اگر هم به گوششان خورده بود، آنرا به رسمیت نمی شناختند. پس کجا استفاده می کردند؟ در طبیعی ترین جای ممکن: حساب
فرض کنید می خواهید \(۹۹^{۲}\) را ذهنی حساب کنید. به اون به شکل\((۱۰۰-۱)(۱۰۰-۱)\) فکر می کنید و باقی ماجرا. بعد موقعی که همان حساب را به شکل جبری بیان می کنید با عبارت کلی تر زیر کار می کنید
\[(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd\]
و برای اینکه آن را به خاطر بسپارید با در عمل به کار گیرید همه ی منفی در منفی، و مثبت در منفی و این چیزها را به کار می گیرید. و توجه کنید که هنوز، کل ماجرا به اعداد منفی و مثبت هیچ ربطی ندارد و شما همچان در قلمرو اعداد طبیعی قرار دارید و تازه می خواهید قدم بعدی را بردارید و وارد قلمرو بزرگ تری شوید
علامت تحمیلی
الان در مرحله ای هستید که موجودات جدیدی (اعداد منفی) در حال اضافه شده به قلمرو طبیعی شما هستند. اول نمی دانید آنها را چگونه بهتر است نمایش دهید. در فیلمی که در انتهای این نوشته می بینید من از علامت تقسیم برای آنها استفاده کرده ام. نرجسِ کتاب کلاس ششم از یه مربع در سمت چپ عدد استفاده می کند. ولی اینجا برای راحتی تایپ، از ستاره استفاده می کنم. مثلا منفی۵ را با ۵* نشان می دهم. هر جور که این ها را نشان دهیم یه چیزی مثل \(*۵. *۷=۳۵\) برقرار است. به عبارتی، ستاره در ستاره می شه مثبت و به طور کلی تر همه قوانینی که در مورد منها ها در حساب داشتیم در مورد ستاره ها برقرار است
در اینجا می تونیم بگیم خوب حالا که قوانین این علامت ها درست مثل همان کارهاست که ما با منها و بعلاوه در حساب انجام می دادیم چه کاریه که از یه نماد جدید استفاده کنیم. و تاریخ برای این «انتخاب» نباید خیلی هم زحمت می کشیده چون اعداد منفی در زمینه ی «تفریق های ناممکن» (عدد کوچک منهای عدد بزرگ) ظاهر می شدند و یه جورهایی علامت منها تحمیل شد. ولی این تحمیل شدن یه نتیجه ی فکر نشده به همراه داشت که خیلی با ماهیت ریاضیات هم خوانی دارد
ریاضی، موجودی به هم پیوسته است
من همچنان لجبازی می کنم و با ستاره به کار ادامه می دم. بعد از مدتی کار با عبارت های ساده و مثلا جمع کردن یه عدد ستاره دار با یه عدد ستاره دار دیگه به یک چیزی مثل عبارت زیر می رسم
\[(۳-۵)(۴-۷)\]و اینجاست که یهو یه اتفاق باور نکردنی می افته. در حساب، به یه چنین موجودی که می رسیدیم راحت منفی در منفی و این کار ها را می کردیم و به نتیجه می رسیدم. الان هیچ کدام از دو پرانتزی که داریم در هم ضرب می کنیم در حساب معنی ندارد. ولی ما همچنان می توانیم از همان روش حساب استفاده کنیم و بنویسیم
\[۳.۴-۳.۷-۵.۴+۵.۷=۶\] این قسمت ماجرا در حساب معنی دارد. و اگر آن دو پرانتز قرار است معنی ای داشته باشند حاصل ضرب آنها باید ۶ باشد. و این اتفاق می افتد. وقتی حاصل هر پرانتز را اول حساب می کنیم و بعد در هم ضرب می کنیم داریم
\[*۲.*۳=۶\]تا اینجای ماجرا همه چیز به خیر و خوشی جلو می ره و خیلی فرقی نمی کنه که داریم از اعداد منفی دار استفاده می کنیم یا ستاره دار. ولی یهو ممکنه از خودمون بپرسیم اصلا چرا اون کاری که در حساب می کردیم و اون روشی که پرانتزها را در هم ضرب می کردیم اینجا هم جواب می ده. در حساب اون کار یه توجیح هندسی داره ولی وقتی یه عدد بزرگ را از یه عدد کوچک کم می کنیم دیگه اون توجیه کار نمی کنه. در این لحظه، تلاش می کنیم عبارت ضرب را طور دیگری هم بنویسیم و ببینم چه می شود
\[(۳+*۵)(۴+*۷)\]یادمون باشه که ما قبلا با جمع و تفریق اعداد ستاره دار کار کرده ایم و اینکه می توانیم تفریق را به شکل جمع با یک عدد ستاره دار بنویسیم چیز تازه ای برایمان نیست. حالا اگه قرار باشه یه قانون از حساب در اینجا هم درست باشه، همان توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع است
\[۳.۴+۳.*۷+*۵.۴+*۵.*۷\] و چون قبلا با جمع و ضرب اعداد ستاره دار کار کردیم این را به شکل زیر ساده می کنیم
\[۳.۴-۳.۷-۵.۴+۵.۷\] و اینجاست که یهو یه جرقه می زنیم (البته این یهو برای من چهل سال طول کشید)ا
تعریف» تفریق»
\[a-b=a+*b\] در واقع مجوزی برای ضرب علامت هاست
با این حساب، وقتی داریم منهای پرانتز اول را در منهای پرانتز دوم ضرب می کنیم، در واقع داریم یه عدد ستاره دار از پرانتز اول را در یه عدد ستاره دار از پرانتز دوم ضرب می کنیم. و خوب چه کاریه که اصلا از ستاره استفاده کنیم وقتی خود اون علامت منها داره همان کار را می کند. به جای اینکه اون مسیر طولانی را برای رسیدن از
\[(۳-۵)(۴-۷)\]به
\[۳.۴-۳.۷-۵.۴+۵.۷\] طی کنیم که از کلی ستاره می گذره. می تونیم از همان منها در منها، مثبت در منها استفاده کنیم
حالا برای محکم کاری و یادآوری اینکه ما علامت منهای تفربق را در هم ضرب نمی کنیم بلکه در واقع داریم عدد های علامت دار را در هم ضرب می کنیم می تونیم بهش بگوییم علامت منفی به جای اینکه بگیم علامت منها
حالا چی
اینکه «در ریاضی» چنین و چنان می کنند، دلیل دارند که چنین و چنان می کنند
و اینکه به عنوان جایزه به فیلم زیر نگاه کنید 🙂 ا
Categories
عدد پی یک نسبت است
هدف اصلی این نوشته روشن کردن این موضوع است که پارگراف زیر از کتاب پنجم دبستان چگونه باید آموزش داده می شد
اول اینکه روش کتاب به یه دلیل ساده بی معنی است. «آنها» همان کار را برای دایره ای با شعاع ۳ انجام داده اند و وقتی آنچه برای محیط یافته اند را بر قطر تقسیم می کنی، عددی که به دست می آید، ۳/۱ است. بعد محیط را برای دایره بعدی یه جوری انجام داده اند که دقیقا عدد ۳/۱۴ بدست می آید! و البته خیلی بعید است که دانش آموز هم محیط دایره ای را که بریده همانگونه اندازه بگیرد که ۳/۱۴ به دست بیاید. تازه فرض هم کن بیاید، تنها چیز معقولی که می شود اینجا گفت این است که محیط دایره تقریبا سه برابر قطر آن است
دوم اینکه روش کتاب به یک دلیل عمیق تر هم بی معنی است. اینکه به همه ی آنچه در خود کتاب و در کتاب های قبل از کلاس پنجم درس داده بی توجه است. اینکه فصل نسبت کتاب بچه ها را برای درک این جمله که «نسبت محیط هر دایره به قطر آن تقریبا ۳/۱۴ است» یه طرف (در این مورد امیدوارم اگر سه پست قبلی در مورد نسبت را خوانده باشید، قانع شده باشید) اینکه قبل از این قسمت، یک مثال از تقسیم منجر به عدد اعشاری در کتاب نیست یه طرف، اینکه آیا آموزش بچه ها را برای پرش از اون خط قرمز ماقبل آخر به فرمول محیط دایره آماده کرده (که خیلی شک دارم چون این یه پرش جبری بزرگ است که بعدا در مورد آن خواهم نوشت)، این ها و خیلی چیزهای دیگه به کنار، کتاب حتی به آنچه آموزش هم داده توجه نکرده. هدف این نوشته اینه که نشون بده چه جوری می شد به درس های قبلی دانش آموزان توجه بشه
محیط دایره، داستانی که می توانست گفته شود
با یه چیزی شروع می کنم که شبیه شروع کتاب است
از اینجا به بعد کلا با اون یه پاراگراف کتاب فرق می کنه . پس لطفا قبل از ادامه ی خواندن حتما یه کمی با شکل بالا بازی کنید
حالا که بازی کردین، امیدوارم توجه کرده باشین که
محیط دایره بیشتر از سه برابر قطر دایره است، ولی
محیط دایره کمتر از چهار برابر قطر دایره است
یه نکته ی خیلی مهم این است که برای مشاهده ی این دو جمله نیاز ندارین بدونین محیط دایره چقدر است. به عبارتی نیاز به اینکه اون را اندازه بگیرین ندارین. کافی است اون را با قطر مقایسه کنید و مشاهده کنید که هر بار سه تا از قطر روی محیط قرار می گیره ولی محیط همیشه یه کمی بیشتر است
دوم اینکه توجه کنید که برای بیان این مشاهدات، زبان طبیعی ضرب است نه تقسیم
حالا با همین اطلاعات، اگر نسبت را درست یادگرفته باشیم می تونیم جدول نسبت ها را بکشیم. من برای راحتی فقط اعداد یک ، دو ، سه و چهار را برای قطر در جدول قرار می دم. چون همین ها منظور را خواهند رساند
در این مرحله اصلا لازم نیست که بدونیم بعد از اعشارها در ستون دوم چی قرار می گیره. ولی قدم اصلی این است که به این به شکل یه جدول تناسب نگاه کنیم. در این صورت اگر کسر نوعی نسبت است را خوانده باشید می دانید که آن ستون قرمز مهم ترین ستون است. چون اگر آن را بدانیم باقی ستون ها را می توانیم کامل کنیم
برای راحتی، به اون عدد سه و خورده ای در ستون قرمز یه اسم می دم، مثلا «پی»، حالا مثلا اگه بخوام بدونم در ستونی که سطر بالای آن عدد سه نوشته شده است، چه عددی در سطر پایین قرار می گیرد، کافی است سه را در عدد پی ضرب کنم. و به همین ترتیب برای هر ستون دیگر
اما عدد ستون قرمز را چگونه بیابیم
آنچه می خواهیم محیط دایره ای به قطر یک است. برای یافتن آن خدایی نکرده ممکن است آنچه قبلا خوانده ایم به کار بیاید. مثلا این از کلاس سوم دبستان
یا این یکی از کلاس پنجم دبستان که دقیقا سوال قبل از آن سوالی است که من این نوشته را با آن شروع کردم
حالا کافی است از آیدا و آلاله بخواهیم که همان حرکت ها را روی دایره ای به قطر یک بزنند. حتی خیلی هیجان انگیزتر اینکه می تونیم با .جیوجبرا یه دایره به قطر یک درست کنیم و آن حرکت ها را روی آن بزنیم. لطفا حتما تعداد ضلع ها را زیاد و زیاد تر کنید تا ببینید چقدر باید جلو برید برای اینکه به سه ممیز چهارده برسین
آنچه که باید به خاطر بسپارید
عدد پی، محیط دایره ای است به قطر یک
عدد پی، در ستون نسبت ها قرار دارد و متناظر است به عدد یک و این یعنی عدد پی یک نسبت است
حالا چی
حالا اینکه اگر کتاب می نویسید، لطفا آن را هم بخوانید
Categories
کسر نوعی نسبت است
چون زهره پندی قول داده که برای من یه کار پیدا کنه، فکر کردم امروز هم مرخصی بگیرم و به جاش از آبی که در پست قبلی گل آلود کردم یه کمی ماهی بگیریم
در پست قبلی نوشتم
هر عدد در واقع یک نسبت است
از آن وقت که این رو نوشتم چندین پیغام دریافت کردم که آیا قرص هایم را به موقع خورده ام یا نه. برای اینکه پرسنده ها را از نگرانی در بیاورم در این پست نشان می دهم چگونه و به چه معنی کسر یک دوم، یک نسبت است
لطفا در شکل زیر به همه چی به شکل خط یا پاره خط نگاه کن و ضخامت ها را در نظر نگیر. یه خط سیاه دراز داریم. یه پاره خط قرمز، دو پاره خط آبی هم اندازه که با هم می شن اندازه ی پاره خط قرمز
نسبت طول پاره خط قرمز به آبی چیست؟ \[1:2\]
این یعنی اینکه اگر پاره خط قرمز را دو برابر کنیم به چهار پاره خط آبی برای پوشاندن آن احتیاج داریم. با زبان نسبت می نویسیم \[2:4\]
دو جور می توانیم این را روی شکل نمایش دهیم. یکی اینکه همه چیز را نمایش بدیم مثل شکل زیر
یکی اینکه فقط جای نقط ها را معلوم کنیم مثل شکل زیر
هر کدوم از این شکل ها به یه ستون جدول زیر مربوط می شن
چون می دونیم همه ی ستون ها با اون ستون زرد رنگ متناسب هستند می تونیم همه ی خونه ها و ستون های خالی جدول را راحت پر کنیم. یکی از این ستون ها به خصوص اهمیت زیادی داره و با باقی ستون ها فرق می کنه. اون ستونی که در سمت چپ ستون زرد رنگ قرار داره. من هر عددی در یکی از خانه های اون ستون قرار بدم، شما می تونین عدد اون یکی خانه را پیدا کنید. اگه در خانه ی پایین یک قرار بدم، در خانه ی بالا چه عددی قرار می گیره؟ یادتون باشه این ستون با ستون زرد رنگ متناسب است. پس هر بلای ضرب و تقسیمی ای که سر یکی از اعداد اومده باید سر اون یکی هم بیاد. اگه عدد پایینی ستون زرد تقسیم بر دو شده، پس عدد بالایی اون هم باید تقسیم بر دو بشه
حالا می تونیم اون را به زبان نسبت بنویسیم \[\frac{1}{2}: 1\]
ولی نکته ی مهم و خیلی مهم و خیلی خیلی مهم این است که این نسبت را درست بخوانیم. اجازه بدین یه کمی از اون ور تر شروع به خواندن کنیم که همه چی طبیعی تر بشه
چهار طول آبی، دو طول قرمز است
دو طول آبی، یک طول قرمز است
یک طول آبی، یک دوم طول قرمز است
حالا سعی می کنیم یه شکل مثل اون شکلی که برای «چهار طول آبی یک طول قرمز است» برای این حالت هم بکشیم
این شکل خوبه ها. فقط یه مشکل اساسی داره. اگر یه نفر به اون نگاه کنه نمی فهمه ما داشتیم نسبت چی به چی رو حساب می کردیم. راستش خودمون هم اگه دو ساعت دیگه به اون نگاه کنیم نمی فهمیم. برای حال این مشکل، دو انتهای پاره خط قرمز اولیه مون رو مشخص می کنیم. برای این کار فقط به دو تا نقطه احتیاج داریم و شکل مون می شه این
بعد یهو یه جرقه ی ذهنی می زنیم و می گیم حالا که پاره خط آبی را داریم از همان جایی شروع می کنیم که پاره خط قرمز را شروع کردیم پس یه ور اون معلوم است کجاست. اون یک ور رو هم که به یک دوم قرمز می تونیم معلوم کنیم. پس اصلا چه کاری است از دو رنگ استفاده کنیم. همه چیز را به یک رنگ نشان می دیم و شکل مون می شه این
ولی این شکل هنوز یه چیزی کم داره و اینکه به ما یاد آوری نمی کنه کدوم نقطه ها اول و آخر پاره خط قرمزی هستند که باهاش شروع کردیم. راستش می تونیم اول و آخر رو هر جوری که بخواهیم معلوم کنیم. مثلا یه کتانی پاره بگذاریم روی یه سر پاره خط و یه کیف مدرسه روی اون یکی سر. اینطوری شاید بتونیم گل کوچیک بازی کنیم ولی یه جنبه ی خیلی مهم ماجرا رو در نظر نگرفتیم. اینکه همه ماجرا از اون ستون زرد رنگ جدول نسب ها شروع شد. اینکه در اون ستون می تونیم عدد یک را نگه داریم و یه پاره خط سبز رنگ بکشیم که سه طول از آن، یک طول قرمز است. و باقی ماجرا. خلاصه اینکه برای تثبیت و احترام به اهمیت یک در آن ستون زرد رنگ و برای نشان دادن یک طول قرمز، اول پاره خط را صفر می گذاریم و آخر آن یک
حالا برای اینکه بگیم پاره خط آبی کجاست کافی است بگیم انتهای آن کجاست. و برای اینکه بگیم انتهای آن کجاست کافی است به ستون سمت چپ ستون زرد رنگ نگاه کنیم و عدد سطر اول اون ستون را زیر این نقطه یا بالای آن بنویسیم
و بدین گونه خط اعداد حقیقی یواش یواش درست شد
ولی سیب و انار هنوز خوب نیستند
در پست قبل دیدیم چرا موقعیت گسسته مناسب کسر نویسی نیستند. دوباره به آن نگاه کنیم
نسبت انارها به سیب ها 6 به 3 است
این جدول همان جدولی است که برای طول پاره خط قرمز و طول پاره خط آبی کشیدیم. در آنجا عدد یک در خانه ی زرد رنگ مبنای مقایسه را تعیین می کرد. ولی اینجا کل ستون است که اهمیت پیدا می کنه. یادتونه گفتم در موقعیت های گسسته یه نسبت به تنهایی معنی نداره و در تناسب معنی پیدا می کنه . اینجا دقیقا خودش رو بروز می ده. وقتی به ستون زرد رنگ نگاه می کنی به تو می گه یه انار داری و دوتا سیب ولی علاوه بر این دو می دونی همین نسبت همه جای دیگه هم برقراره. یعنی
در هر ستون تعداد سیب ها دو برابر تعداد انار هاست
حالا بریم به ستون کسر، ستون سمت چپ ستون زرد
در موقعیت پیوسته (پاره خط ها) این ستون به تنهایی معنی داشت و معنی آن این بود که طول پاره خط آبی یک دوم طول پاره خط قرمز بود. اما در موقیعت گسسته این ستون به تنهایی معنی نداره. نمی تونی بگی یک سیب ، یک دوم انار است (توجه کن اینجا یه انار نقش واحد را بازی نمی کند که تعداد میوه های دیگر را با آن بسنجی.) ولی این ستون برای ستون های دیگر اطلاعات می دهد. اینکه هر چی اینجا برقرار است در ستون های دیگر هم برقرار است. یعنی
در هر ستون تعداد انارها یک دوم تعداد سیب هاست
گسسته در خدمت پیوسته ولی نه برعکس
به نظرم بهترین راه برای اینکه ببینی در هر مورد کسری که با یه نسبت می نویسی چه معنی ای می ده اینه که جدول نسبت ها را بکشی و به دو تا ستون سمت چپ اون توجه کنی. در موقعیت پیوسته هم می تونی ستون ها را به تنهایی تعبیر کنی و هم از اون ها در باره ی ستون های دیگه اطلاعات بگیری. اما در موقیعت های گسسته از ستون ها می تونی فقط برای اطلاعات گرفتن در مورد ستون های دیگه استفاده کنی
حالا چی
حالا اینکه اگه یه دانش آموزی با گذشتن از کلاس پنجم نسبت رو فهمید خداییش باید بهش مدال فیلدز بدن. بعدش هم از این فرصت استفاده کنم و بپرسم آیا واقعا، خدا وکیلی، از دل اون «فعالیت» های کتاب های درسی چیزی می تونه در بیاد
پی نوشت. می بخشید اعداد فارسی نیستند. معمولا اعداد را می نویسم و بعد فارسی می کنم. در این مورد حواسم نبود که اعداد داخل جداول هم هستند و چون عکس بودند کاری نمی توانستم بکنم به جز اینکه برگردم و همه ی جدول هایی که درست کرده بودم را دوباره درست کنم. دیدم بهتر است همانگونه رهایشان کنم
آقا ما هی عز و جز زدیم که آخه چرا تو کتاب پنجم دبستان نسبت رو با علامت کسر نشون داده. بعدش هم نوشتیم نسبت ها اگر چه ممکنه به نظر برسن که با یه عدد نمایش داده می شن ولی همیشه یه عدد دیگه اونها را همراهی می کنه. حالا شما ممکنه بگی که پس عدد پی چیه؟ مگه یه عدد نیست؟ مگه نسبت محیط دایره به قطر اون نیست؟ یا بگی رادیکال دو چیه؟ مگه نسبت قطر مربع به ضلع اون نیست؟ یا اینکه مثلا یه پاره خط داری به طول پنج واحد و یه پاره خط دیگه داری به طول سه واحد، حالا مگه کتاب ریاضی عمومی دکتر شهشهانی نمی گه که نسبت طول پاره خط اول به طول پاره خط دوم را با کسر زیر نمایش می دهیم
\[\frac{۳}{۵}\]
فکر کنم مثال رادیکال ۲ خیلی خوب و روشنگر باشه. نسبت قطر به ضلع این است
\[\sqrt {۲}:۱ \]
نکته ی مهم اینجا اون عدد یک است که نقش واحد را بازی می کند که همه ی اعداد دیگه با اون اندازه گرفته می شن. چون می دونیم که اون اونجا هست دیگه وقتی با اعداد کار می کنیم هی بهش اشاره نمی کنیم و خود عدد را به تنهایی اسم می بریم. با این حساب
هر عدد در واقع یک نسبت است
و این نگاه چه وقت خوب است. وقتی همه ی کمیت های مورد نظر را می شود با چیز مشترکی اندازه گرفت. اینطوری وقتی یک نسبت را جوری می نویسیم که یکی از آنها یک است، اون یکی عددی خالص است که واحدی ندارد. پس اتفاقا مثال خوب برای وقتی یک نسبت را با یک عدد بیان می کنیم چیزی مثل کیلومتر بر ساعت که من در پست قبلی نوشتم نیست (چون طول و زمان با واحد های مختلفی اندازه گیری می شوند). مثال خوب، مثالی است که هر دو کمیت با واحد یکسانی اندازه گیری می شوند
چرا سیب و انار خوب نیستند
وقتی نسبت سیب ها به انار ها ۵ به ۳ است، واحد یکسانی که هر دوی آنها را اندازه می گیرد چیست؟ برای اینکه بیشتر وسوسه شوید که نسبت سیب ها به انارها را به شکل کسر بنویسید، فرض کنیم نسبت سیب ها به انارها ۶ به ۳ است
\[۶:۳ :: ۲:۱\]
اول اینکه اون دوتا دو نقطه ی پشت سر هم رو معمولا برای نشان دادن برابری نسبت ها استفاده می کنند. حالا نذارین اون حواستون رو پرت کنه و از خودتون بپرسین این عدد یک.داره چی رو نشون می ده. احتمالا تنها جواب معقولی که به نظرتون می رسه اینه که یعنی یک انار. این رو با مثال زیر مقایسه کنید
اضلاع مستطیل الف، ۲ و ۳ است. اضلاع مستطیل ب، ۱و ۳. نسبت مساحت مستطیل الف به مساحت مستطیل ب چیست
\[۶:۳ :: ۲:۱\]
دو باره از خودتان بپرسید این عدد یک چه چیزی را نمایش می دهد. این بار، این عدد یک، واحد اندازه گیری مساحت است. مساحت مستطیل الف شش برابر آن است و مساحت مستطیل ب، سه برابر آن و در این مورد با خیال راحت می تونین مساحت مستطیل ب به مستطیل الف را با کسر زیر نمایش می دهیم
\[\frac{۱}{۲}\]
حالا چی
حالا اینکه من می تونم برم به زندگی ام برسم و یه کمی حقوق ام رو حلال کنم. شما هم حتما پست بعدی با عنوان کسر نوعی نسبت است را بخوانید چون فکر می کنم این پست خیلی الکی پیچیده شد
Categories
درسی در نسبت
اگر چه شما این را در وبسایت من می خوانید باید بگویم که زهره پندی همانقدر در آن شریک است که من. او با «سفارش» ساختن فیلمی در مورد کسر کل این ماجرا را شروع کرد و هی کامنت هایش جنبه های بسیاری از «نسبت» را برای من روش کرد یا اینکه من را وادار به فکر کردن به آن جنبه ها کرد
حالا نسبت
قبل از هر چیز، چگونه نباید آن را شروع کرد: به سبک کتاب پنجم دبستان
در این شروع دو مشکل اساسی نهفته است
مشکل اول: استفاده از نمایش کسر برای نسبت. در مورد این در پست قبلی نوشتم
مشکل دوم: استفاده از نسبت هیچ اطلاعاتی نمی دهد. این نیاز به توضیح دارد
به شکل بالا نگاه کنید. کدام آدم عاقلی است که به جای اینکه تعداد میوه ها را بگوید، که سه انار داریم و سه پرتقال، به نسبت تعداد انارها به پرتغال ها فکر کند. این وقتی لازم است که مثلا بگوییم که داریم برای یه جشن عروسی پرتقال و انار می خریم به نسبت برابر (من که تا حالا در یه چنین جشن عروسی که تعداد پرتقال ها وانارها برابر باشه نبودم. راستش اصلا یادم نمی آد در یک جشن عروسی انار خورده باشم!) از عروسی برگردیم
خلاصه اینکه در بیشتر موقعیت های قابل شمارش (گسسته)، نسبت فقط با تناسب معنی داره. یعنی اینکه نسبت داره یه اطلاعاتی در مورد یه نسبت دیگه به ما می ده (برای همین است که فیلم «کسری برای نسبت» با یه عالمه توپ های رنگی رنگی شروع می شه».) مثلا نسبت پرتقال ها و انار ها درشکل بالا در مورد نسبت پرتقال ها و انارها در عروسی ای که نه من رفتم و نه شما
در مورد موقعیت های پیوسته، یه کمی تناسب مورد استفاده مخفی تر است. مثلا به «فعالیت» زیر نگاه کن
اگر به جای اینکه شکل را حاظر و آماده و داشتی، فقط یه مستطیل داشتی و ازت خواسته شده بود اون رو جوری رنگ کنی که مساحت قسمت رنگ شده به قسمت رنگ نشده ۳ به ۵ باشه، اونوقت ممکن بود ابتکار بزنی و شکل زیر را بکشی
به نظر می رسه، در موقعیت های پیوسته ، نسبت در مورد یک تک موقیعت داره اطلاعات خوبی می ده. ولی حواسمون باشه که در واقع اون تک موقیعت هزار جور مختلف می تونه اون تک نسبت رو نمایش بده. البته خیلی اوقات هم اون تک موقعیت فقط یه جور امکان دیده شدن داره ولی در این صورت اعداد مورد استفاده در نسبت نقش شمارشی ندارند . مثلا برای درست کردن شیرینی نخودچی آرد نخودچی و کره و شکر به نسبت ۲ به ۱ به ۱ استفاده می شه. برخلاف مثال سیب و انار و پرتقال، اینجا نمی تونی دو تا آرد نخودچی کنار بگذاری، ۱ دونه کره و ۱ دونه شکر و از بچه بپرسی خوب حالا نسبت آرد نخودچی به کره رو بنویس
حالا شروع کردیم بعدش چی
راستش شروع یه جورهایی بعدش رو هم تعیین می کنه. مهم ترین نکته این است که توجه کنیم که نسبت قرار است برای منظوری مفید باشد. مثلا اگر دو تا توپ آبی داریم و سه تا قرمز، خوب می گیم دو تا آبی داریم و سه تا قرمز. ولی اگه یه عالمه توپ آبی و قرمز داریم اینکه بدونیم نسبت آبی ها به قرمزها چقدر است مفید است. ولی هر اطلاعاتی که می تونیم از دانستن نسبت آبی ها به قرمز ها بدست بیاوریم، می تونیم از دونستن اینکه چه کسری از توپ ها آبی (یا قرمز) است هم به دست بیاوریم. می تونیم از اینکه چه درصدی از توپ ها آبی (یا قرمز) است هم به دست بیاوریم. می توانیم از دانستن احتمال کشیدن یه توپ آبی(یا قرمز) از سبد هم به دست بیاوریم. مهم این است که در بعضی موقیعت ها یکی از بیان ها راحت تر فکر را همراهی می کند. مثلا اگه به موقعیت شیرینی نخودچی با زبان کسرها فکر کنی عمرا بتونی شیرینی را درست کنی. و اینکه اگر چه همه ی اعداد را می شود از یک بیان به بیان دیگر تبدیل کرد، بعضی از آنها در موقیعت مورد استفاده اصلا معنی ندارند. مثلا سعی کن به این فکر کنی که احتمال شکر در شیرینی نخودچی ۱ به ۵ است!!ا
چه وقتی نسبت رو می شه با یک عدد نشان داد
اینجا دوباره به زهره پندی برمی گردیم که نوشت
به نظرم باید یه چیزی گفته بشه درباره این که نسبت رو میشه با یه عدد نشون داد .مثلا نسبت مسافت به زمان وقتی سرعت ثابته با یه عدد مثلا ۶۰ و یه واحد مثلا کیلومتر بر ساعت بازنمایی میشه
راستش نسبت ها فقط به نظر می رسن بعضی وقت ها با یه عدد نشون داده می شن چون همیشه یه عدد دیگه هم اون ها رو همراهی می کنه. مثلا مثال مسافت به زمان رو در نظر بگیرین. فرض کنید یک خودرو مسافت ۲۴۰ کیلومتر را در ۴ساعت طی می کند. نسبت مسافت به زمان به شکل زیر است
\[۲۴۰:۴\]
که این همان
\[۱۸۰:۳\]
که این همان
\[۱۲۰:۲\]
که این همان
\[۶۰:۱\]
است
در این حالت مرسوم است یک را نگوییم و به جای گفتن اینکه نسبت مسافت به زمان ۶۰ به ۱ است بگوییم سرعت ۶۰ کیلومتر بر ساعت است. ولی اینکه دوباره این کار همه جا به این خوبی جواب نمی دهد
وقتی شیطان گول مان می زند
به مثال سیب و پرتقال برگردیم.نسبت سیب ها به پرتقال ها ۵ به ۳ است و ما داریم هی حساب کتاب می کنیم چند تا سیب و چند تا پرتقال برای عروسی بخریم (می دانم معمولا نمی شماریم و می کشیم. حالا یه لحظه کوتاه بیاین). از آنجا که عروسی است و هی یه سری فامیل قهر می کنند و نمی آیند و یک سری فامیل هم که اصلا تا الان نمی دانستیم فامیل اند هی اضافه می شوند هی اعداد ما تغییر می کنند. طبق آخرین اطلاعات رسیده از خانواده ی دو طرف می دونیم بالاخره یکی از شرایط زیر را داریم
\[۱۰۰:۶۰\]
\[۱۵۰:۹۰\]
\[۵۰۰:۳۰۰\]
از آنجا که ما ریاضی مان خوب است و جیب مان خالی. به جای اینکه هی ۵ و ۳ را در یک عدد ضرب کنیم، آرزو می کردیم که آنها را بر یه عدد تقسیم می کردیم
\[۵:۳\]
به سبک سرعت، هر دو را بر ۳ تقسیم می کنیم و به دست می آوریم
\[\frac{۵}{۳}:۱\]
و آرزو می کردیم که به همین اندازه میوه لازم داشتیم که می شد فقط برای خودمان و همسرمان
حالا از خودمان می پرسیم این کسر پنج سوم چی را نشان می دهد. ریاضی وار می توانیم از آن شروع کنیم و برگردیم به همه ی نسبت های دیگه. ولی در این موقعیت عروسی معنی آن چیست؟ فرض کن می ری میوه فروش محل و می گی من برای هر یه دانه پرتقال، پنج سوم سیب می خوام. لطفا اگه سالم بیرون برگشتی یه کامنت زیر این پست بگذار
حالا چی
حالا اینکه اگه حوصله کردی و این پست رو تا اینجا خوندی شایسته ی اینی که یک چایی قند پهلو بنوشی و از دیدن فیلم «کسری برای نسبت» لذت ببری
داشتم از دوست خوبم، زهره پندی، در مورد روش آموزشی ای که برای معرفی کسر به نظرم رسیده بود مشورت می گرفتم که این مکالمه رخ داد
من با خوشحالی و هیجان : ببین خوبی این روش (که هنوز در دست کار است) این است که نسبت ها را به طور معنی داری به کسر مربوط می کنه
زهره با دودلی و یه جوری که حال من رو نگیره: ولی من خیلی دوست ندارم این دوتا با هم قاطی بشن
من با تعجب: یعنی چی. آخه اینها خیلی بهم ربط دارند
زهره: ولی چرا اصلا باید یکی رو که مربوط به جز به جز است (نسبت) با یکی که مربوط به جز به کل است (کسر) قاطی کرد
من، همچنان با تعجب که چطور زهره این حرف را می زند: خیلی به هم ربط دارند
زهره: آره. ولی نمی شه که هر دو رو یه جور نمایش داد
من: البته که نمی شه، برای همین یکی را با دو نقطه نشان می دهند؛ مثلا نسبت دو به سه را این طوری نشان می دهیم
\[۲:۳\]
و کسر دوسوم را اینطوری
\[\frac{۲}{۳}\]
زهره. ولی تو کتاب دبستان، هر دو رو یه جور نمایش دادند
من: نه!!!!!!!!!!!!!ا
و خداییش در اون فاصله که زهره رفت برام پیدا کنه کجا، همش فکر می کردم داره اشتباه می کنه و چنین چیزی امکان نداره. ولی متاسفانه امکان داشت. و اگر شما هم مثل من باور نمی کنید، این هم سند از کتاب پنجم دبستان، فصل نسبت
این موجود
\[\frac{۲}{۳}\]
از کلاس سوم دبستان، دو قسمت از سه قسمت مساوی را نشان می داد، و در این لحظه ناگهان نسبت دو به سه را. این هم سند از سوم دبستان
حالا حتما می گن حالا مگه چیه اونجا فصل کسر بود و اینجا فصل نسبت. بدبختی اینجاست که قشنگی ریاضی در این است که به فصل و اینجا و اونجا ربط نداره. چرا این قشنگی، بدبختی است. جمع زیر را انجام دهید تا توضیح بدم
\[\frac{۲}{۳}+\frac{۳}{۴}\]
فکر کنم شما هم با من هم عقیده باشین که چه سوم دبستان، چه پنجم دبستان، چه هزارم دبستان، این جمع باید یه معنی داشته باشه و با اون معنی ای که من و شما می شناسیم می تونیم اون رو حساب کنیم که
\[\frac{۲}{۳}+\frac{۳}{۴}=\frac{۱۷}{۱۲}\]
حالا اون بچه ی دبستانی رو در نظر بگیر که با مساله ی زیر روبرو شده
الف. نسبت مربع های آبی به قرمز را بنویس
ب. نسبت دایره های آبی به قرمز را بنویس
ج. نسبت شکل های آبی به قرمز را بنویس
این دانش آموز ما به سبک کتاب پنجم ، الف را با کسر دو سوم نمایش داده، و ب را با کسر سه چهارم، بدون شک می دونه که اولین تعبیر جمع مربوط به روی هم ریختن و همه را با هم در نظر گرفتن می شه. با این تعبیر برای پاسخ به ج جمع زیر را می نویسد
\[\frac{۲}{۳}+\frac{۳}{۴}\]
و برای پیدا کردن حاصل جمع به شکل رجوع می کند و به دست می آورد که
\[\frac{۲}{۳}+\frac{۳}{۴}=\frac{۵}{۷}\]
که اتفاقا واقعا جواب مساله است!!! ولی بدبختی اینجا است که دو تا کسر اینطوری جمع نمی شن. چون خوشبختانه ریاضی به کلاس سوم و پنجم و اینجا و اونجا ربط نداره
حالا چی
حالا اینکه درسته که نسبت ها به کسرها ربط دارند ولی نه به سبک کتاب ها ی دبستان. به سبک کتاب دبستان اینطوری می شه که می تونین از شکل زیر استفاده کنین و نشون بدین که یک دوم با یک سوم برابر است
چه جوری. اینطوری که به سبک سوم دبستان به سوال اول جواب بده و به سبک پنجم دبستان به سوال دوم
سوم دبستان: چه کسری از شکل آبی است
پنجم دبستان: نسبت آبی به قرمز را بنویس