کسر نوعی نسبت است

چون زهره پندی قول داده که برای من یه کار پیدا کنه، فکر کردم امروز هم مرخصی بگیرم و به جاش از آبی که در پست قبلی گل آلود کردم یه کمی ماهی بگیریم

در پست قبلی نوشتم 

هر عدد در واقع یک نسبت است

از آن وقت که این رو نوشتم چندین پیغام دریافت کردم که آیا قرص هایم را به موقع خورده ام یا نه. برای اینکه پرسنده ها را از نگرانی در بیاورم در این پست نشان می دهم چگونه و به چه معنی کسر یک دوم، یک نسبت است

لطفا در شکل زیر به همه چی به شکل خط یا پاره خط نگاه کن و ضخامت ها را در نظر نگیر. یه خط سیاه دراز داریم. یه پاره خط قرمز، دو پاره خط آبی هم اندازه که با هم می شن اندازه ی پاره خط قرمز

نسبت طول پاره خط   قرمز به آبی چیست؟ [1:2] 

این یعنی اینکه اگر پاره خط قرمز را دو برابر کنیم به چهار پاره خط آبی برای پوشاندن آن احتیاج داریم. با زبان نسبت می نویسیم [2:4]

دو جور می توانیم این را روی شکل نمایش دهیم. یکی اینکه همه چیز را نمایش بدیم مثل شکل زیر

یکی اینکه فقط جای نقط ها را معلوم کنیم مثل شکل زیر

هر کدوم از این شکل ها به یه ستون جدول زیر مربوط می شن

چون می دونیم همه ی ستون ها با اون ستون زرد رنگ متناسب هستند می تونیم همه ی خونه ها و ستون های خالی جدول را راحت پر کنیم. یکی از این ستون ها به خصوص اهمیت زیادی داره و با باقی ستون ها فرق می کنه. اون ستونی که در سمت چپ ستون زرد رنگ قرار داره. من هر عددی در یکی از خانه های اون ستون قرار بدم، شما می تونین عدد اون یکی خانه را پیدا کنید. اگه در خانه ی پایین یک قرار بدم، در خانه ی بالا چه عددی قرار می گیره؟ یادتون باشه این ستون با ستون زرد رنگ متناسب است. پس هر بلای ضرب و تقسیمی ای که سر یکی از اعداد اومده باید سر اون یکی هم بیاد. اگه عدد پایینی ستون زرد تقسیم بر دو شده، پس عدد بالایی اون هم باید تقسیم بر دو بشه

حالا می تونیم اون را به زبان نسبت بنویسیم [frac{1}{2}: 1]

ولی نکته ی مهم و خیلی مهم و خیلی خیلی مهم این است که این نسبت را درست بخوانیم. اجازه بدین یه کمی از اون ور تر شروع به خواندن کنیم که همه چی طبیعی تر بشه

چهار طول آبی، دو طول قرمز است

دو طول آبی، یک طول قرمز است

یک طول آبی، یک دوم طول قرمز است

حالا سعی می کنیم یه شکل مثل اون شکلی که برای «چهار طول آبی یک طول قرمز است» برای این حالت هم بکشیم

این شکل خوبه ها. فقط یه مشکل اساسی داره. اگر یه نفر به اون نگاه کنه نمی فهمه ما داشتیم نسبت چی به چی رو حساب می کردیم. راستش خودمون هم اگه دو ساعت دیگه به اون نگاه کنیم نمی فهمیم. برای حال این مشکل، دو انتهای پاره خط قرمز اولیه مون رو مشخص می کنیم. برای این کار فقط به دو تا نقطه احتیاج داریم و شکل مون می شه این

بعد یهو یه جرقه ی ذهنی می زنیم و می گیم حالا که پاره خط آبی را داریم از همان جایی شروع می کنیم که پاره خط قرمز را شروع کردیم پس یه ور اون معلوم است کجاست. اون یک ور رو هم که به یک دوم قرمز می تونیم معلوم کنیم. پس اصلا چه کاری است از دو رنگ استفاده کنیم. همه چیز را به یک رنگ نشان می دیم و شکل مون می شه این

ولی این شکل هنوز یه چیزی کم داره و اینکه به ما یاد آوری نمی کنه کدوم نقطه ها اول و آخر پاره خط  قرمزی هستند که باهاش شروع کردیم. راستش می تونیم اول و آخر رو هر جوری که بخواهیم معلوم کنیم. مثلا یه کتانی پاره بگذاریم روی یه سر پاره خط و یه کیف مدرسه روی اون یکی سر. اینطوری شاید بتونیم گل کوچیک بازی کنیم ولی یه جنبه ی خیلی مهم ماجرا رو در نظر نگرفتیم. اینکه همه ماجرا از اون ستون زرد رنگ جدول نسب ها شروع شد. اینکه در اون ستون می تونیم عدد یک را نگه داریم و یه پاره خط سبز رنگ بکشیم که سه طول از  آن، یک طول قرمز است. و باقی ماجرا. خلاصه اینکه  برای تثبیت و احترام به اهمیت یک در آن ستون زرد رنگ و برای نشان دادن یک طول قرمز، اول پاره خط را صفر می گذاریم و آخر آن یک

حالا برای اینکه بگیم پاره خط آبی کجاست کافی است بگیم انتهای آن کجاست. و برای اینکه بگیم انتهای آن کجاست کافی است به ستون سمت چپ ستون زرد رنگ نگاه کنیم و عدد سطر اول اون ستون را زیر این نقطه یا بالای آن بنویسیم

و بدین گونه خط اعداد حقیقی یواش یواش درست شد

 ولی سیب و انار هنوز خوب نیستند

در پست قبل دیدیم چرا موقعیت گسسته مناسب کسر نویسی نیستند. دوباره به آن نگاه کنیم

نسبت انارها به سیب ها 6 به 3 است

این جدول همان جدولی است که برای طول پاره خط قرمز و طول پاره خط آبی کشیدیم. در آنجا عدد یک در خانه ی زرد رنگ مبنای مقایسه را تعیین می کرد. ولی اینجا کل ستون است که اهمیت پیدا می کنه. یادتونه گفتم در موقعیت های گسسته یه نسبت به تنهایی معنی نداره و در تناسب معنی پیدا می کنه  .  اینجا دقیقا خودش رو بروز می ده. وقتی به ستون زرد رنگ نگاه می کنی به تو می گه یه انار داری و دوتا سیب ولی علاوه بر این دو می دونی همین نسبت همه جای دیگه هم برقراره. یعنی

در هر ستون تعداد سیب ها دو برابر تعداد انار هاست

  حالا بریم به ستون کسر، ستون سمت چپ ستون زرد

در موقعیت پیوسته (پاره خط ها) این ستون به تنهایی معنی داشت و معنی آن این بود که طول پاره خط آبی یک دوم طول پاره خط قرمز بود. اما در موقیعت گسسته این ستون به تنهایی معنی نداره. نمی تونی بگی  یک سیب ، یک دوم انار است (توجه کن اینجا یه انار نقش واحد را بازی نمی کند که تعداد میوه های دیگر را با آن بسنجی.) ولی این ستون برای ستون های دیگر اطلاعات می دهد. اینکه هر چی اینجا برقرار است در ستون های دیگر هم برقرار است. یعنی 

در هر ستون تعداد  انارها یک دوم تعداد سیب هاست  

گسسته در خدمت پیوسته ولی نه برعکس

به نظرم بهترین راه برای اینکه ببینی در هر مورد کسری که با یه نسبت می نویسی چه معنی ای می ده اینه که جدول نسبت ها را بکشی و به دو تا ستون سمت چپ اون توجه کنی. در موقعیت پیوسته هم می تونی ستون ها را به تنهایی تعبیر کنی و هم از اون ها در باره ی ستون های دیگه اطلاعات بگیری. اما در موقیعت های گسسته از ستون ها می تونی فقط برای اطلاعات گرفتن در مورد ستون های دیگه استفاده کنی

حالا چی

حالا اینکه اگه یه دانش آموزی با گذشتن از کلاس پنجم نسبت رو فهمید خداییش باید بهش مدال فیلدز بدن. بعدش هم از این فرصت استفاده کنم و بپرسم آیا واقعا، خدا وکیلی، از دل اون «فعالیت» های کتاب های درسی چیزی می تونه در بیاد

پی نوشت. می بخشید اعداد فارسی نیستند. معمولا اعداد را می نویسم و بعد فارسی می کنم. در این مورد حواسم نبود که اعداد داخل جداول هم هستند و چون عکس بودند کاری نمی توانستم بکنم به جز اینکه برگردم و همه ی جدول هایی که درست کرده بودم را دوباره درست کنم. دیدم بهتر است همانگونه رهایشان کنم