در ستایش علامت منفی

در ریاضی چنین می کنند

چند وقت پیش یه فیلم کوچولو با همین عنوان به اشتراک گذاشتم (فیلم را در پایین این نوشته ببینید.) ولی فکر می کنم بدون یه توضیح اضافی خیلی درک نشه. هدف این نوشته دادن آن توضیح است که در واقع مهمترین بخش مقاله ای است که به زودی منتشر خواهد شد. بعلاوه، جمله ی زیر هم از کتاب ریاضی ششم رمز گشایی می شود

در ریاضی برای نمایش اعدادی که در دو موقعیت مختلف مانند بالای صفر و زیر صفر به کار می روند از علامت های + و – استفاده می کنیم

خاطره ای از مرحوم میرزا جلیلی نازنین

فکر نمی کنم این خاطره جایی مکتوب شده باشد (اگر شده من نمی دانم و لطفا بگویید که به آن ارجاع دهم). آن زمان های جاهلی و جوانی که در دفتر تالیف «کار» می کردم این شانس رو داشتم که گهگاهی به خاطرات مرحوم جلیلی گوش کنم. یه روز تعریف می کردند  اون قدیم ها وقتی داشتن کتاب می نوشتن، وقتی به اعداد منفی رسیدند می خواستند مثل کتاب های درسی فرانسه وقتی اون رو معرفی می کنند، علامت منفی رو بالا و سمت چپ عدد قرار بدهند که از علامت منهی متمایز بشه. ولی امکانات حروف چینی اون زمان اجازه ی این کار رو بهشون نمی ده و مجبور می شن، از همان روش معمول نمایش اعداد منفی استفاده کنند. اون وقت ها، این برای من از این لحاظ جالب بود که فکر می کردم این تمایز باید ایجاد بشه. ولی حالا بعد از این همه سال، تازه پی بردم که نباید بشه و اینکه «در ریاضی» از این علامت ها استفاده می شه دلیل داره

علامت ها قبل از اعداد صحیح

 به طور تاریخی، قوانین علامت ها قبل از اینکه ملت اعداد منفی را به رسمیت بشناسن، مورد احترام و استفاده بوده. این یعنی که از مثلا «منفی در منفی مثبت است» استفاده می کردند بدون اینکه اعداد منفی را بشناسند یا اگر هم به گوششان خورده بود، آنرا به رسمیت نمی شناختند. پس کجا استفاده می کردند؟ در طبیعی ترین جای ممکن: حساب

فرض کنید می خواهید (۹۹^{۲}) را ذهنی حساب کنید. به اون به شکل((۱۰۰-۱)(۱۰۰-۱)) فکر می کنید و باقی ماجرا. بعد موقعی که همان حساب را به شکل جبری بیان می کنید با عبارت کلی تر زیر کار می کنید

[(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd]

و برای اینکه آن را به خاطر بسپارید با در عمل به کار گیرید همه ی منفی در منفی، و مثبت در منفی و این چیزها را به کار می گیرید. و توجه کنید که هنوز، کل ماجرا به اعداد منفی و مثبت هیچ ربطی ندارد و شما همچان در قلمرو اعداد طبیعی قرار دارید و تازه می خواهید قدم بعدی را بردارید و وارد قلمرو بزرگ تری شوید

علامت تحمیلی

الان در مرحله ای هستید که  موجودات جدیدی (اعداد منفی) در حال اضافه شده به قلمرو طبیعی شما هستند. اول نمی دانید آنها را چگونه بهتر است نمایش دهید. در فیلمی که در انتهای این نوشته می بینید من از علامت  تقسیم برای آنها استفاده کرده ام. نرجسِ کتاب کلاس ششم از یه مربع در سمت چپ عدد استفاده می کند. ولی اینجا برای راحتی تایپ، از ستاره استفاده می کنم. مثلا منفی۵ را با ۵* نشان می دهم. هر جور که این ها را نشان دهیم یه چیزی مثل (*۵. *۷=۳۵) برقرار است. به عبارتی، ستاره در ستاره می شه مثبت و به طور کلی تر همه قوانینی که در مورد منها ها در حساب داشتیم در مورد ستاره ها برقرار است

در اینجا می تونیم بگیم خوب حالا که قوانین این علامت ها درست مثل همان کارهاست که ما با منها و بعلاوه در حساب انجام می دادیم چه کاریه که از یه نماد جدید استفاده کنیم. و تاریخ برای این «انتخاب» نباید خیلی هم زحمت می کشیده چون اعداد منفی در زمینه ی «تفریق های ناممکن» (عدد کوچک منهای عدد بزرگ) ظاهر می شدند و یه جورهایی علامت منها تحمیل شد. ولی این تحمیل شدن یه نتیجه ی فکر نشده به همراه داشت که خیلی با ماهیت ریاضیات هم خوانی دارد

ریاضی، موجودی به هم پیوسته است

من همچنان لجبازی می کنم و با ستاره به کار ادامه می دم. بعد از مدتی کار با عبارت های ساده و مثلا جمع کردن یه عدد ستاره دار با یه عدد ستاره دار دیگه به یک چیزی مثل عبارت زیر می رسم

[(۳-۵)(۴-۷)]و اینجاست که یهو یه اتفاق باور نکردنی می افته. در حساب، به یه چنین موجودی که می رسیدیم راحت منفی در منفی و این کار ها را می کردیم و به نتیجه می رسیدم.  الان هیچ کدام از دو پرانتزی که داریم در هم ضرب می کنیم در حساب معنی ندارد. ولی ما همچنان می توانیم از همان روش حساب استفاده کنیم و بنویسیم

[۳.۴-۳.۷-۵.۴+۵.۷=۶] این قسمت ماجرا در حساب معنی دارد. و اگر آن دو پرانتز قرار است معنی ای داشته باشند حاصل ضرب آنها باید ۶ باشد. و این اتفاق می افتد. وقتی حاصل هر پرانتز را اول حساب می کنیم و بعد در هم ضرب می کنیم داریم

[*۲.*۳=۶]تا اینجای ماجرا همه چیز به خیر و خوشی جلو می ره و خیلی فرقی نمی کنه که داریم از اعداد منفی دار استفاده می کنیم یا ستاره دار. ولی یهو ممکنه از خودمون بپرسیم اصلا چرا اون کاری که در حساب می کردیم و اون روشی که پرانتزها را در هم ضرب می کردیم اینجا هم جواب می ده. در حساب اون کار یه توجیح هندسی داره ولی وقتی یه عدد بزرگ را از یه عدد کوچک کم می کنیم دیگه اون توجیه کار نمی کنه. در این لحظه، تلاش می کنیم عبارت ضرب را طور دیگری هم بنویسیم و ببینم چه می شود

[(۳+*۵)(۴+*۷)]یادمون باشه که ما قبلا با جمع و تفریق اعداد ستاره دار کار کرده ایم و اینکه می توانیم تفریق را به شکل جمع با یک عدد ستاره دار بنویسیم چیز تازه ای برایمان نیست. حالا اگه قرار باشه یه قانون از حساب در اینجا هم درست باشه، همان توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع است

[۳.۴+۳.*۷+*۵.۴+*۵.*۷] و چون قبلا با جمع و ضرب اعداد ستاره دار کار کردیم این را به شکل زیر ساده می کنیم

[۳.۴-۳.۷-۵.۴+۵.۷]  و اینجاست که یهو یه جرقه می زنیم (البته این یهو برای من چهل سال طول کشید)ا

تعریف» تفریق»

[a-b=a+*b]  در واقع مجوزی برای ضرب علامت هاست

با این حساب، وقتی داریم منهای پرانتز اول را در منهای پرانتز دوم ضرب می کنیم، در واقع داریم یه عدد ستاره دار از پرانتز اول را در یه عدد ستاره دار از پرانتز دوم ضرب می کنیم. و خوب چه کاریه که اصلا از ستاره استفاده کنیم وقتی خود اون علامت منها داره همان کار را می کند. به جای اینکه اون مسیر طولانی را برای رسیدن از

[(۳-۵)(۴-۷)]به 

[۳.۴-۳.۷-۵.۴+۵.۷] طی کنیم که از کلی ستاره می گذره. می تونیم از همان منها در منها، مثبت در منها استفاده کنیم 

حالا برای محکم کاری و یادآوری اینکه ما علامت منهای تفربق را در هم ضرب نمی کنیم بلکه در واقع داریم عدد های علامت دار را در هم ضرب می کنیم می تونیم بهش بگوییم علامت منفی به جای اینکه بگیم علامت منها

حالا چی

اینکه «در ریاضی» چنین و چنان می کنند، دلیل دارند که چنین و چنان می کنند

و اینکه به عنوان جایزه به فیلم زیر نگاه کنید 🙂 ا