از یک تا انتگرال، قسمت هفت

این قسمت: تفریق، قسمت دوم

راستش اصلا این قسمت قرار نبود نوشته شود. یعنی اصلا یه چیز دیگه می خواستم در مورد تفریق بنویسم ولی جواب هایی که شما به سوالم در کانال تلگرام دادید کلا مسیر فکری ام را عوض کرد. جواب ها یه خاصیت دیگه هم داشت، اینکه فهمیدم کی پست ها را می خواند و کی نمی خواند 🙂 علاوه بر این، یک بار دیگر در کنار هزار بار دیگر با خوشحالی و تعجب همیشگی به من ثابت شد که ما هیچ وقت همه چیز را در مورد یک چیز نمی دانیم. حتی اگر آن چیزی به «سادگی» تفریق باشد

تم این قسمت: مدل ها   ؛ مفهوم خاص این قسمت: تفریق

آنچه من انتظار داشتم

شما ای خواننده ی محترم می دانی که من شکل زیر را در کانال تلگرام به اشتراک گذاشتم و پرسیدم یک مساله کلامی بنویسید که مدل اش این شکل باشد و جواب اش تفریق پنج منهای سه
آنچه من در ذهن داشتم چیزی شبیه مساله ای بود که در قسمت اول تفریق نوشتم. مساله ای که «برداشتنی» نبود و شخصیت های آن  سه مولف و شانزده برنامه ریز درسی بودند و می خواستیم بدانیم برنامه ریزان چند نفر از مولفین بیشترند. قشنگ تر از این مساله، مساله ی زیر است

پنج نفر سه بستنی خریده اند. چند نفر بدون بستنی می مانند؟

توجه کنید که نکته ی مشترک در این دو مساله این است که دو مجموعه داریم و اعضای یک مجموعه را با مجموعه ی دیگر در تناظر قرار می دهیم و هدف مان پاسخ به سوال زیر است

چند عضو یک مجموعه در تناظر با مجموعه دیگر قرار نمی گیرد

این سوال می تواند در موقعیت های مختلف پرسیده شود. هر یک از موقعیت ها به شکل جفت ظاهر می شوند

دو موقعیتی که شما برای من فرستادید اینها هستند

بعد از تناظر چند تا تنها می مانند

مساله بستنی ها

یا جفتِ موقعیت بالا که با تاکید متفاوتی پرسیده می شود

چند تا داشته باشی تا دو مجموعه هم تعداد بشوند

یه جا تخم مرغی داریم که جا برای ۵ تا تخم مرغ داره. و سه تا تخم مرغ هم داریم. چندتا تخم مرغ دیگه لازم داریم که جا تخم مرغی پر بشه

در این شکل مثال بستنی ها اینطوری می شه که چند تا بستنی دیگه باید خرید که همه بستنی داشته باشند

یک مجموعه چند عضو از مجموعه دیگر بیشتر/کمتر دارد

مثال مولفین و برنامه ریزان یا مثال زیر

من پنچ تا گردو دارم. شما سه تا. من چند تا گردو از شما بیشتر دارم؟

اینها چیزهایی بود که من انتظار داشتم و جالب اینجا که از این همه موقعیت طبیعی هیچکدام در کتاب درسی نیست. توجه کنید که در همه ی این مثال ها هشت عضو متمایز داریم که پنج تا از آنها در یک مجموعه و سه تای دیگر در مجموعه دیگر قرار دارند

آنچه انتظار نداشتم

علی ۵ تا پیتزا درست کرد سه تاشو توی فر گذاشت و پخت چند تای دیگه رو باید بپزه؟

کیک تولد شراره پنج ساله از اصفهان  ۵  شمع دارد. مادر او همه ی شمع ها را روشن کرد. او شمع ها رو فوت کرد و سه شمع خاموش شد.  الان چند شمع روشن است؟

۵ دوست تصمیم گرفتند به جنگل بروند و شب را آنجا بمانند. آن‌ها تصمیم گرفتند تقسیم کار کنند. تعدادی از آن‌ها چادر بزنند و تعدادی هیزم جمع کنند. اگر ۳ دوست به هیزم جمع کردن مشغول شوند، چند نفر در حال چادر زدن هستند؟

توجه کنید در همه ی این مثال ها ما فقط یک مجموعه داریم. این مجموعه پنج عضو دارد. ولی این اعضا در دو شرایط متفاوت قرار می گیرند. و ما با داشتن تعداد اعضایی که شامل یکی از این شرط ها می شوند، تعداد اعضای دیگر را می خواهیم

معنی مدل در چشم های تو است نه در آن چه به آن می نگری

وقتی از طراح مساله ی بستنی ها پرسیدم اگر مساله را داشت و مدلی که من دادم را نداشت خودش چی می کشید. گفت پنج تا مربع می کشیدم و داخل سه تا از آنها را تیک می زدم. و وقتی همین سوال را از طراح مساله پیتزاها پرسیدم گفت به احتمال قوی سه تای پخته را از بین همون پنج تا انتخاب می کردم و متفاوت نشون میدادم، حالا با یه ضربدر یا با یه رنگ دیگه. بستنی ها از نظر من به دسته ی «تفریق های دو مجموعه» ای تعلق داشت و پیتزاها به دسته «تفریق های یک مجموعه ای و دو شرطی»، چه جوری است که یک مدل برای هر دوی آنها کار می کند. بعد با کمال تعجب و خوشحالی از یادگیری جدید دریافتم که در واقع هر دو مدل برای هر دو دسته مساله کار می کند فیلم زیر را برای نشان دادن این ساخته ام

وقتی بدون حواشی کلامی مساله ها به اون ها فکر کنی، کلا دو حالت بیشتر نداری، «چوب های خط خورده و چوب های خط نخورده» و «چوب ها و خط ها» (و می توانی هر یک از این حالت را با تمرکز بر هر یک از دو جز شکل دهنده ی آن بپرسی) که خوب این دو حالت هر کدام به اون یکی قابل تبدیل است و بستگی داره چه جوری به ماجرا نگاه کنی. یادت باشه, معنی مدل در چشم های تو است نه در آن چه به آن می نگری

ولی بالاخره یه مدل در بعضی موقعیت ها طبیعی تر است

راستش خیلی دوست دارم این را باور کنم. ولی اگر اون رو باور کنم با اینکه معنی مدل در نگاه تو است در تضاد قرار می گیرد.مثلا به مساله زیر و راه حل آن نگاه کنید

به نظر راه حل داده شده طبیعی است. ولی حواسمان باشد که این راه حل برای بچه ای داده شده است که با مساله ی زیر با مفهوم تفریق مورد تاکید کتاب آشنا شده است

برای حل این مساله از او خواسته شده است که

تعداد شکل های سمت چپ را بگوید و با انگشتان یک دست نشان بدهد. به تعداد شکل های سمت راست انگشتان خود را ببندد و توضیح بدهد چند تا مانده است

خلاصه اینکه تفریق در کتاب همیشه برداشتنی است و همیشه یک مجموعه ای و دو شرطی است و از مدل چوب و خطی شروع می کند و به مدل چوب های خط خورده ، «چوب های باقی مانده» می رسد. توجه کنید که به جای چوب های خط خورده و خط نخورده، نوشتم خط خورده و باقی مانده، چون تاکید کتاب روی «ماندن» است که البته بسیار امیدوارم با خود کتاب به زودی برود

حالا چی

حالا اینکه اگر از این نوشته تعجب کردید، منتظر نوشته بعدی بمانید. مشاهده ی بعدی آنقدر عجیب است که من دیروز هی در خانه راه می رفتم و هی می گفتم اَ اَ اَ مگه می شه این همه سال این رو ندیده باشم و نفهمیده باشم

بعد برای اینکه بیشتر درک کنید نگاه کتاب به تفریق چقدر محدود است این را در نظر بگیرید که هر یک از مساله های بالا به شکل یه مساله ی مجهول یابی هم می تواند پرسید شود و چون برای هر مساله ی تفریق می شود دو تا مجهول یابی نوشت یعنی دو برابر تعداد حالت های بالا به ماجرا اضافه می شود. و اگر فکر می کنید خوب دیگه همه ی حالت ها بررسی کرده اید، مدیون بچه های مردم اید، چون هر یک از این حالت ها با یک مساله ی جمعی متناظر می شود و خیلی وقت ها مساله به شکل جمع نوشته شده است و شما برای حل آن تفریق می کنی. همه ی این ها را بریزی روی هم، یعنی تعداد حالت ها چهار برابر حالت های بالا است. و حالا اگه فکر می کنید خوب دیگه همه ی حالت ها را در نظر گرفته اید، مدیون بچه های مردم اید. چون یه نگاه دیگه به تفریق وجود داره که اصلا مثل حالت های بالا شمارشی نیست، اندازه گرفتنی است. در مورد این هم بعدا خواهم نوشت

و اینکه چند روز پیش «پندی» یک کاربرگ برام فرستاد که توسط یکی از «بچه» هاش طراحی شده است برای تفریق. می دونم الان بدو بدو می ره و یه تنوعی به مساله های اون کاربرگ می ده. ولی یه چیزی در اون هست که خیلی خوبه. اینکه از بچه پرسیده شده به نظرش برای هر مساله ای چه شکلی مناسب تر است. و مهم تر اینکه تاکید کرده که می توانی یک شکل را برای چندین مساله انتخاب کنی. این کار برگ را اینجا ببینید

توجه کردید که به کتاب تیکه نیانداختم. شاید هم اونقدر تیکه هام نهادینه شده که انداختم و متوجه نشدم