Categories

# Structure, Structure, Structure!

Look at this equality:

$$(a + b) + c = a + (b + c)$$ , or this one:

$$a . (b + c) = a.b + a.c$$

They are true structurally. In principle, You can just replace one side of the equality with the other side without any extra comment. However, we usually like to describe these in terms of processes. For the first equality, we might say that adding the first two and then the sum to the third is the same as adding the first to the sum of the last two. For the second equality, we might say that from left to right it is multiplying through a set of parentheses, and from  right to left, it is factoring  something out. The italics are in the language of processes. Thus, when does the structure matter? Here is a strange example that I observed when teaching differential equations.

There is a technique in which you multiply both sides of a first order equation by something called “integrating factor”. The point is to write one side of the equation as the derivative of a function. For that, you need the product rule for derivatives: The derivative of a product of two functions is the derivative of the first times the second, plus the derivative of the second times the first. In symbols,  we can write the product rule as $$(fg)’=f’g+g’f$$ or many other ways. When moving from left to right we are doing something, we find the derivative, we multiply, we add. However, it seems that when moving from right to left, we are not doing anything. We just replace $$f’g+g’f$$ with $$(fg)’$$ . Indeed, the mere fact that we can just replace the right side of the product rule with the left side was quite unacceptable for one of the best students of my class (hence he couldn’t see the logic behind the integrating factor). I would like to see more examples in which understanding structure really matter.

• Diana says:

سلام خدمت استاد عزیز و دوستان گرامی، جالبه که من هم تجربیاتی مشابه تجربه های شما رو بارها و بارها در کلاس درسم دیدم و چرایی این موضوع ذهنمو درگیر هم کرده.اغلب از خودم می پرسم چرا مسیر ذهنی بیشتر یکطرفه ست؟ در کلاسهای درسم با تمرینهایی سعی کردم تغییری در این حالت ایجاد کنم ولی جالب اینجاست که خیلی جواب نداد!!! گاهی با خودم فکر میکنم که احتمالا یک عامل پشت پرده ی ذهنی در این موضوع دخالت داره!!!!ا

• شراره says:

سلام دکتر اصغری عزیز
خیلی خیلی ممنون که مشاهدات و تجربیات خودتون را به اشتراک میگذارید. راستش درمورد این مطلب می خواستم بگم که برای من هم مشابه چنین مشاهده ایی وجود داشته ، اما بیشتر در زمانی
که بچه ها می خواهند از اتحادهای جبری استفاده کنند. در واقع وقتی که از اتحاد فیل و فنجان

$$(a+b)(a^2- ab+ b^2) = a^3+b^3$$

یا حتی مربع دو جمله ایی استفاده می کنند، ازسمت چپ به راست براشون معنی داره ولی برعکسش نه؛
چرا که اغلب یادشون میره که چطور داره این تساوی برقرار میشه. این حس اینقدر زیادهست که فقط سمت چپ رو به عنوان اتحاد می شناسند و اگر خواستند از راست به چپ بروند، به اون دیگه اتحاد نمیگن، بلکه اغلب دیده ام که می گویند “از جواب اتحاد فلان استفاده می کنیم” تا به سمت چپ برسیم انگار اصلا معنی کلمه اتحاد رو نفهمیده اند. درواقع با توجه به سختی فرایندی که اونها را از سمت راست به چپ می بره (بعضی وقت ها باید یه چیزی رو کم و زیاد کنند، یا این که فاکتورگیری کنند که البته این خیلی سخته براشون) باعث میشه که این بدفهمی در اونها بیشتر شدت پیدا کنه و اتحاد ها رو یک ،فرآیند یک طرفه ببینند. ش

• Amir says:

مثالی که زدی خیلی شبیه مثال منه. به این معنی که دیدن “فرایندی” که ما رو از یه طرف به طرف دیگه می بره سخته. ولی نکته جالب اینه که در اکثر این مثال های جبری هر دو فرایند ، از چپ به راست یا از راست به چپ ، یه اسمی دارن. مثلا یه طرف رو می گیم تجزیه یه طرف رو می گیم ضرب. به نظر می رسه معلم ها از روی خیر خواهی همه ی تلاششون رو می کنن که این اتفاق بیافته. یعنی اینکه برای اینکه فهمیدن رو برای دانش آموز “راحت ” کنن سعی می کنن به هر دو طرف یه فرایند نسبت بدن. مثلا دادن یه اسم کمک می کنه به فرایند دیدن اونها. راستی تو این اتحاد فیل و فنجان به چی اشاره داشت.ا

• شراره says:

سلام دوباره و ممنون برای توضیحات بیشتر. فکر میکنم به ضرب دو عبارت جبری در هم که یکی شامل یک دو جمله ایی هست(فنجان) و دیگری یک سه جمله ایی (فیل)، اشاره دارد.ا