داستان از اینجا شروع شد که اون اول اول که جز خدا هیچکی نبود و خدا تازه داشت فکر می کرد که آدم ها را خلق کنه یا نکنه، به این نتیجه رسید که اگر آدم را خلق کرد باید یک چیز دیگری هم خلق کنه که آدم ها پُر رو نشوند و هرازگاهی بگن این رو فقط خود خدا می دونه. این شد که اعداد اول را هم خلق کرد.
اعداد اول
اگه شش تا کاشی مربع شکل داشته باشید و قرار باشه با اونها یک مستطیل تو پر درست کنید، آنها را یا می توانید اینطور کنار هم قرار بدهید:
یا اینطور:
ولی اگر به جای شش تا کاشی، هفت تا کاشی داشتید اونوقت با کمال تعجب فقط یک جور می شد یک مستطیل درست کرد.
برای پنج تا کاشی هم همینطور، برای سیزده تا کاشی هم همینطور. این جور عددها را می گن اعداد اول. کمی که منظم تر به ماجرا نگاه کنیم و از یک شروع کنیم می توانیم چند تا از آنها را به ترتیب بنویسیم. به یک دلیل خیلی ریز فنی یک را عدد اول حساب نمیکنیم و از دو شروع می کنیم که اتفاقا خودش اول است و بعد از آن سه است و بعد پنچ و بعد هفت و بعد یازده و بعدی زحمت با شما.
حالا اگه یک از خدا بی خبری بپرسه که آیا مثلا ۳۸۶۴۲۹ اول است یا نه باید بری و کلی بررسی کنی و ببینی؛ و اگه بپرسی که آیا یه فرمولی چیزی نیست که آدم تند و سریع و انقلابی بگه فلان عدد اول هست یا نه، جواب می شنوی که اون را فقط خود خدا می دونه تازه اگه واقعاً بدونه. برای همین تا اسم اعداد اول می آد چشم ریاضیدان ها برق می زنه (خدا روی این قسمت دیگه حساب نکرده بود) و کلی داستان جالب وجود داره که موضوع اون حول و حوش جدال یه ریاضی دان و یه چیزی مربوط به اعداد اول است. یکی از معروف ترین ها داستان عمو پتروس و حدس گلدباخ که اتفاقا به فارسی هم ترجمه شده. حدس گلدباخ اینه که اگه شما یه عدد زوج را بگیری (به جز عدد دو) می تونی آنرا به شکل حاصل جمع دوتا عدد اول بنویسی. اینها چند تا مثال: $$4=2+2$$ $$20=7+13$$
چرا بهش می گن حدس؟ چون هیچکی هنوز نمیدونه که آیا همیشه درست است یا فقط برای عددهای زوج که تا حالا بررسی کردیم درست است. عمو پتروس ریاضیدانی خیالی است که اولین بار در داستان اینطور معرفی می شود که با هیچکی نشست و برخاست ندارد و کلا خودش را غرق کرده در مطالعاتش (که خوب تلاش برای اثبات حدس گلدباخ است). برای همین وقتی از بیرون بهش نگاه می کنی آدم مرموزی به نظر می رسه. من ریاضی دان زیاد می شناسم ولی راستش باید اعتراف کنم هیچکدام به اندازه ریاضی دانی که امروز می خواهم در موردش بنویسم من رو یاد عمو پتروس نمی اندازه: فریده فیروزبخت.
شبکه ی اول بازها
وقتی یکی از دوستان اصفهانی برام نوشت که «میشه در مورد ریاضیدان های خانم هم تحقیق کنید و بنویسید مثلا خانم فیروزبخت» (خدایی نکرده فکر نکنین چون خانم فیروزبخت هم اصفهانی هستند ایشان را مثال زد) اصلا فکر نمی کردم نوشتن در مورد ریاضی دانی که فقط پنج سال از خود من بزرگتر بوده و متاسفانه در سوم دیماه ۱۳۹۸ (۲۴ دسامبر ۲۰۱۹) در سن ۵۸ سالگی درگذشته است اینقدر سخت باشد. تقریبا فقط ده دوازده لینک فارسی هست که به نام او اشاره می کند و همه ی آنها یک خط بیشتر نیستند که: فریده فیروزبخت ریاضیدان ایرانی صاحب حدس فیروزبخت در مورد اعداد اول درگذشت.
همین!!!
بازهم خدا پدر و مادر ویکیپدیای انگلیسی را بیامرزه که دو خط هم اضافه داره که او اصفهانی بوده است و اول دارو سازی می خوانده است و بعد ریاضی و بعد می شود استاد ریاضی دانشگاه اصفهان.
همین!!!
نه عکسی نه دلیل مرگی نه هیچی! یعنی اگر چند خطی که توسط خودش نوشته شده نبود اینجا آخر داستان بود (لینک به این چند خط هم، آخر ویکی انگلیسی داده شده است).
شبکه ی اول بازها
لینک ویکی انگلیسی به یک سایتی است به اسم زیر:
سایت کلا برای اول بازهاست؛ اونهایی که حال زندگی شون اعداد اول است در اون مساله به اشتراک می گذارند و راه حل مساله و ایده. یه سایت کوچولو و جمع و جور که الان ۱۸۱ عضو دارد که یکی از آنها همچنان خانم فیروزبخت است. سایت الان که من دارم این را می نویسم بیست و چهار سال و حدود یک ماه از تولدش می گذرد و همچنان هر شنبه یک مساله ی هفتگی به اشتراک می گذارد. حالا چرا اینقدر در مورد این سایت نوشتم؟ خوب چون خانم فیروزبخت رسما در آن زندگی می کرده. در آماری که حدود یک سال و چهار ماه بعد از مرگ ایشان روی سایت منتشر شده ایشان همچنان نفر دوم اول بازها هستند و قشنگ می شه تصور کرد که قبل از مرگشان نفر اول بودند.
در یک آمار دیگر هم که مربوط به کنجکاوی های عددی است که اعضای سایت با هم به اشتراک می گذراند و به طور روزانه به روز می شود ایشان هنوز جزو ده نفر اول است. برای اینکه حسی از این کنجکاوی های عددی بگیرین که او در آنجا به اشتراک گذاشته است، عدد ۱۹۶۲ که سال تولد فیروزبخت است را در نظر بگیرید. عمرا این به فکرتون برسه که: $$1962=(1\times9\times6\times2+1)(1+9+6+2)$$
یعنی شما فقط باید عمو پتروس وار با اعداد زندگی کنید که به همچین چیزی فکر کنید. این سایت اینقدر برای فیروز بخت عزیز بوده که او خودش را به قلم خودش در آن معرفی کند.
نکته ریز اینکه اینجا هم عکس را می پیچونه و با وجودی که سایت درخواست بیوگرافی می کند و عکس، فقط بیوگرافی می فرستد. ولی نکته اساسی، تاریخی است که حدس اش به فکرش می رسد. سال ۱۹۸۲ یعنی در بیست سالگی و زمانی که دانشجوی سال دوم داروسازی بوده. فکرش را بکنید سال دوم داروسازی باشید و صبح و شب تون را با اعداد اول بگذرانید؛ در واقع باید به این فکر کنید که خانواده چه حرص و جوشی خوردن و فریده چه پوست کلفتی داشته؛ تجربه کردم که می گم. ولی خب حدسی که می زنه آنقدر شگفت انگیز هست که فریده را قانع کنه باید داروسازی را ول کنه و بره ریاضی بخونه.
حدس فیروزبخت
خانواده محترم اعداد اول را که یادتان هست. اولی شون عدد دو است و دومی شون عدد سه است و سومی شون عدد پنج است و چهارمی شون عدد هفت و پنجمی شون عدد یازده و ششمی شون زحمتش با شما. با توجه به اینکه دومی شون سه است، ریشه دوم سه را درست می کنیم. با توجه به اینکه سومی شون پنج است، ریشه سوم پنج را درست می کنیم. با توجه به اینکه چهارمی شون هفت است، ریشه چهارم هفت را درست می کنیم. با توجه به اینکه پنجمی شون یازده است، ریشه پنجم یازده را درست می کنیم و همینجوری ادامه می دیم. عدد دو هم که اولین عدد بود کلا داره ماست خودش را می خورد. حدس فیروزبخت این است که این اعداد هی کوچکتر و کوچکتر می شوند. یعنی این: $$\begin{equation*} 2 >\sqrt[2]{3} >\sqrt[3]{5} >\sqrt[4]{7} >\sqrt[5]{11} >… \end{equation*}$$
یه جورهایی آدم فکر می کنه خوب اینکه معلومه. به خصوص همون اول که دو بزرگتر از ریشه دوم سه است آدم سریع گول می خوره که دیگه باقی هم همینطوریه دیگه. برای اینکه ببینین چقدر این حدس شگفت انگیز است، کمی از این پایین مایین ها بریم جلوتر و ببینیم اون بالا مالاها چه خبره. عدد ۱۱۳ سی امین عدد اول است و عدد اول بعدی، ۱۲۷ است. اگه حدس فیروزبخت درست باشه انتظار داریم که: $$\begin{equation*} \sqrt[30]{113} >\sqrt[31]{127}\end{equation*}$$ که خوب درست است چون: $$\begin{gather*} \sqrt[30]{113} \approx 1.170673\\ \sqrt[31]{127} \approx 1.169134 \end{gather*}$$
این یعنی ریشه سی اُم ۱۱۳ از همه این عدد ها هم بزرگتر بوده: $$\begin{gather*} \sqrt[31]{114} ,\ \sqrt[31]{115} ,\sqrt[31]{116} ,\\ \sqrt[31]{117} ,\sqrt[31]{118} ,\sqrt[31]{119} ,\\ \sqrt[31]{120} ,\sqrt[31]{121} ,\sqrt[31]{122} ,\sqrt[31]{123} ,\\ \sqrt[31]{124} ,\sqrt[31]{125} ,\sqrt[31]{126} \end{gather*}$$
و وقتی از طرف ریشه سی ام ۱۱۳ به ماجرا نگاه کنیم هیجان انگیر می شود. فرض کنید تصمیم دارین با ریشه های سی و یکم روی ریشه ی سی ام ۱۱۳ را کم کنید. با ریشه سی و یکم ۱۱۴ شروع می کنید، جواب نمی ده. می رین سراغ ریشه سی و یکم عدد بعدی (۱۱۵) که یه کمی بزرگتر است. اونهم جواب نمی ده. هی این ریشه های سی و یکم دارند بزرگتر و بزرگتر می شوند ولی همچنان زور ریشه سی ام ۱۱۳ به همه ی اونها می چربه. اگه حدس فیروزبخت درست باشه ما مطمئن خواهیم بود که این قلدری تا ریشه ی سی و یکم ۱۲۷ ادامه داره. ولی در مورد ریشه سی و یکم عدد بعدی (۱۲۸) دیگه بستگی به شانس ریشه سی ام عدد ۱۱۳ داره: $$\begin{gather*} \sqrt[30]{113} \approx 1.170673\\ \sqrt[31]{128} \approx 1.169430 \end{gather*}$$ عجب خوش شانسی است این ریشه سی ام ۱۱۳. راستش چندتا عدد بعدی را هم لب مرزی رد می کنه و ما باید تا ریشه سی و یکم ۱۳۳ صبر کنیم تا روی اون را کم کنیم: $$\begin{gather*} \sqrt[30]{113} \approx 1.170673\\ \sqrt[31]{133} \approx 1.170877 \end{gather*}$$
اینطوری که به ماجرا نگاه کنین متوجه می شین چرا فیروزبخت در معرفی خودش برای سایت اول بازها می نویسد که موضوع مورد علاقه اش فاصله بین اعداد اول است. آدم این حس را دارد که هر چی این فاصله بزرگتر باشه قبل از اینکه به عدد اول بعدی برسیم زور عدد اول قبلی تمام شه و اگه قراره حدس شکست بخوره باید یه جایی باشه که این فاصله خیلی زیاد است.
به خودتون زحمت ندین
امیداورم الان بدو بدو یه ماشین حساب برداشته باشین و حدس فیروزبخت را برای چند تا عدد چک کرده باشین تا حس بهتری از آن بگیرید. ولی اگر این کار را با امید به اینکه یک مثال پیدا کنید که حدس را بترکونه انجام می دهید، باید بگم که زهی خیال باطل؛ چون ریاضیدان های همیشه در صحنه درستی آن را برای همه ی اعداد اول تا عدد زیر بررسی کردن: $$18400000000000000000$$
اگه شانسی برای پیدا کردن یک مثال نقض وجود داشته باشه، با کامپیوترهای معمولی شدنی نیست. نکته خیلی جالب اینکه خود فریده (در بیست سالگی) خودش حدس خودش را تا عدد زیر چک میکنه: $$4444000000000$$
فکرش رو بکنید داریم در مورد چهل سال پیش صحبت می کنیم که فقط یه کامپیوتر در کل دانشگاه اصفهان وجود داشته. فریده باید روی کارت های سوراخ دار برنامه اش را در می آورده و هی خدا خدا می کرده که یهو روی یه کارتی یه سوراخی را اشتباه نزده باشه. برق چشم ها و اینکه یهو قلب ات از شادی می ریزه پایین رو الان دارم حس می کنم.
فریده فیروزبخت کیست
فریده فیروزبخت «خیلی به ظاهرش نمی رسید و هر چیزی را بجز تحقیق بیهوده می دونست.» این رو یکی از همکارهای فریده در خانه ریاضیات اصفهان برام نوشت. یکی از شاگردهاش هم برام نوشت: «توی عالم خودش بود.» ولی همین آدمی که همش در عالم خودش بود برای به اشتراک گذاشتن حس خودش به ریاضیات با شاگردهاش به طور طبیعی دست و دلباز بود.
فریده فیروزبخت نمیخواست ما از زندگی شخصی او بیشتر از آنکه خودش با ما به اشتراک گذاشته بدانیم. به این خواسته او احترام میگذارم و داستان را با شعر زیر به انتها می رسانم. نمیدانم شعر را چه کسی برای آگهی ترحیم او انتخاب کرده، هر که بوده، نمیتوانست درست تر از این انتخاب کند:
اینکه مردم نشناسند ترا غربت نیست
غربت آن است که یاران ببرندت از یاد
و داستان او ادامه خواهد داشت
متن زیر را به خواهش من، یان استوارت در مورد حدس او نوشته است. متن را به فریده تقدیم میکنم و شاگردهاش. او در حدسش زنده خواهد ماند و دیگر هرگز غربت را تجربه نخواهد کرد.
Firoozbakht’s Conjecture
Ian Stewart
Prime numbers are among the most important, but also the most puzzling, concepts in the whole of mathematics. Their definition is simple: a whole number is prime if it cannot be obtained by multiplying two smaller whole numbers together. For example, 5 is prime, but 6 = 2 x 3 is not. Prime numbers are basic to many areas of mathematics, both pure and applied. They form the basis of some of the codes used to ensure Internet security. They are puzzling because they do not follow any simple pattern — unlike, say, squares or powers of two.
On the other hand, primes are not merely random. Some patterns can be found. An obvious one is that every prime except 2 is an odd number. Every prime of the form 4k+1 is a sum of two perfect squares; no prime of the form 4k+3 is a sum of two perfect squares. There are also useful approximate formulas related to the distribution of primes: roughly how many primes occur in a given range of numbers. In 1792 the great mathematician Carl Friedrich Gauss noticed that the number of primes less than a given number x is approximately x/log x, that is, x divided by its natural logarithm. Proofs that this is correct were finally found in 1896 by Jacques Hadamard and Charles Jean de la Vallée Poussin, using advanced methods from complex analysis. One interpretation is that the size of the nth prime is roughly n log n.
The Iranian mathematician Farideh Firoozbakht is famous for a conjecture about the relation between the sizes of consecutive primes. It states that the nth root of the nth prime forms a strictly decreasing sequence. In symbols, if pn is the nth prime, then
$$p_{n+1}^{\frac{1}{n+1}} < p_n^{\frac{1}{n}}$$
Using a table of the largest gaps between consecutive primes, Firoozbakht discovered that this inequality is true for all n up to 4,444,000,000,000. Later work by the mathematician Alexei Kourbatov has verified it up to $$1.84 \times 10^{19}$$, but to date, no complete proof or disproof has been found.
Many similar conjectures have been proposed. Firoozbakht’s Conjecture is one of the strongest, placing closer limits on the distribution of primes than many others. Luan Alberto Ferreira and Hugo Luiz Mariano, surveying results implied by the conjecture, describe it as “the boldest (and reasonable) known statement about prime gaps.” They observe that its truth would imply the truth of many other famous conjectures about primes. Using a recent breakthrough on the gaps between consecutive primes by Yitang Zhang, it has also been proved that the sequence of nth roots of the nth prime decreases infinitely many times.
Firoozbakht’s mathematical legacy is an intriguing and important contribution to the centuries-long puzzle of the distribution of prime numbers. It poses a fascinating challenge for future mathematicians to solve. If it is true, many long-sought theorems will follow. If it is false, mathematicians will be led to develop new insights into the sizes of gaps between consecutive primes.