Category: Assessments
قسمت سوم: وقتی آنچه می خواهیم نیست
در قسمت دوم «ارزشیابی غیر انسانی ریاضیات» خواندیم که اولین سوالی که باید در هر ارزشیابی بپرسیم این است که «چه می خواهیم». راستش اگر این سوال را نپرسید یا بپرسید و جواب آن را ندانید، استفاده کردن یا نکردن از آن ارزشیابی فرقی نمی کند چون وقتی نمی دانید چی قرار است بدست آید، نمی توانید بدانید چی بدست آمده است یا نیامده است. خلاصه اینکه نمی توانید ارزشیابی خود را ارزشیابی کنید
همچنان در قسمت دوم خواندیم که خیلی از وقت ها، ما می دانیم چه می خواهیم ولی آنچه ما می خواهیم با ارزشیابی های رایج بدست نمی آید و مجبوریم جینگولگ بازی در بیاوریم و چیزی به ارزشیابی های رایج بیافزاییم و یا اصولا ارزشیابی های نارایج طراحی کنیم. در قسمت دوم به افزودنی ها پرداختیم، در این قسمت به نارایج ها
چرا رایج ها رایج اند و نارایج ها نارایج
اصلا چرا یک ارزشیابی رایج است و یکی نارایج؟ جورهای مختلف می شود به این سوال پاسخ داد. سرراست ترین پاسخ ممکن این است: آدم های مختلف درک های مختلفی از ریاضیات دارند. به طور طبیعی، هر آدمی وقتی دانش آموزان را ارزشیابی می کند، آنچه را ارزشیابی می کند که برای خودش ارزش دارد. با این حساب ارزشیابی های رایج گواه از درک جمعی ارزشیابی کنندگان از ریاضیات دارد. حالا سوال اینجاست که این درک جمعی در شرایط مدرسه ای ما چیست؟
می دانم بسیاری از شما که این را می خوانید جینگولک بازی های خودتان را دارید ولی وقتی کتابی که مجبورید از آن درس بدهید و براساس آن ارزشیابی کنید ریاضیات را به شکل تکه پاره و مبحث به مبحث می بیند و مبحث ها به جای اینکه به هم متصل شوند، یکی بعد از دیگری «تمام» می شوند، شما هم چه بخواهید و چه نخواهید بسیاری از اوقات از تمرین هایی استفاده می کنید که با آن نگاه تکه تکه جوراست. چون هم شما به طور خواسته یا ناخواسته این کار را می کنید و هم من و هم معلم کلاس بغلی و هم معلم شهر اونوری، این تیکه تیکه ها می شود رایج. بدتر اینکه می شود، عادت و مانعی برای تفکر به نارایج
نارایجِ مورد علاقه ی من
برای من، ریاضی یک داستان است که هر بار که آن را می نویسیم یا می خوانیم جنبه ی جدیدی از شخصیت ها و ارتباط بین آنها برایمان روشن می شود. به نظر نگاه بی آزار و خوبی می رسد. ولی اگر معلم باشید و حقوق تان همینقدر باشد که الان هست و این نگاه را داشته باشید، باید خوش شانس باشید که همسرتان طلاق تان ندهد. چون کتابی که آن را درس می دهید این نگاه را ندارد و شما به ناچار باید خیلی از وقت هایی را که باید به کمک در کارهای خانه بگذرانید، به طراحی سوال بگذرانید. نتیجه اینکه، اگر معلم اید و نگاهتان به ریاضی این است، بهتر است مجرد بمانید. در هر صورت، اگر الان در حال خواندن این متن هستید، مجرد یا متاهل، یعنی صابون این چیزها را به تن مالیده اید. پس برگردیم به شخصیت داستان قسمت های قبل: معادله ی درجه دوم
نارایجِ جاریِ معادله ی درجه دوم
همیشه سوال این است که چه می خواهیم. همیشه بخشی از آنچه باید بخواهیم، حلقه های اتصال اند، زمینه های مشترک، مفاهیمی که شخصیت های داستان را به هم وصل می کند. بدون این حلقه های اتصال، ریاضی تیکه تیکه می ماند و به همین دلیل، با معرفی هر شخصیت جدیدی باید به سطح آورده شوند. مثلا، معادله ی درجه یک و دو را در نظر بگیرید. نگاه تیکه تیکه این است
برای حل معادله ی درجه یک، ایکس ها را می بریم یک طرف و اعداد را یک طرف و باقی ماجرا
برای حل معادله ی درجه دوم چهار «روش داریم»، روش اِل، روش بِل و روش چکش و روش چهارم
با این نگاه معادله درجه یک، یه جور حل می شود، معادله ی درجه ی دوم یه جور دیگه. اون یک تیکه است این یک تیکه دیگه
ولی یه چیزهایی است که همه ی این روش های حل را به هم مربوط می کنه و اساسی ترین آنها پاسخ به دو سوال زیر است
سوال اول. اصلا وقتی یک معادله را حل می کنیم یعنی چی؟
اگر باور نمی کنید که این سوال چقدر اساسی است، وقتی بروبچ معادله ی \(4x^2-13x+3=0\) را حل کردند ازشون بپرسین عبارت \(4 x^2-13x+3\) به ازای \(x=\frac{1}{4}\) چی می شه. اگر بروبچی دارین که به همه جور روش حل معادله ی درجه ی دوم مسلط اند و همچنان برای جواب به این سوال ایکس را در عبارت قرار می دهند و همه ی محاسبات را انجام می دهد تعجب نکنید و به جاش دو تا فحش آب دار به کتاب های درسی بدهید
سوال دوم. اصلا وقتی یه روش حل برای یه معادله داریم، یعنی چی داریم؟
این سوال یعنی اینکه چه چیز مشترکی در همه ی روش های حل هست، مثلا بین روشی که معادله ی درجه ی یک را حل می کنیم و روش مربع کامل کردن در معادله ی درجه ی دوم، روش های حل معادله ی مثلثاتی و غیره و غیره. چه چیزی بین همه ی اینها جاری است. این نارایجِ جاری چیست؟
همه ی این روش ها، معادله ای را که دنبال جواب هایش می گردیم، تبدیل به معادله ای می کنند که همان جواب ها را دارد و ما جواب هایش را می دانیم
حالا می دانیم چه می خواهیم، سوال بعدی این است که آن را چگونه بخواهیم
چگونه بخواهیم آنچه را می خواهیم
خیلی معلم بچه تری که بودم یه اتفاق ساده و مسخره باعث شد بفهمم اینکه به بچه بگیم چه می خواهیم کمکی نمی کند. یه روز یه سری کاغذ را گذاشته بودم روی یک میز تو راهروی بیرون کلاس. به بچه ها گفتم بعد از کلاس از در کلاس که خارج شدن، بپیچن سمت چپ، نرسیده به ته راهرو یه میز هست و از روی میز یکی از اون کاغذها را بردارند. نود درصد بچه ها بعد از کلاس هنوز گیج بودن که باید چیکار کنن. می دونم که یهو خیلی تعمیم دادم. ولی این اتفاق باعث شد از خودم بپرسم چه جوری اون بچه ها می توانند فقط با گفتن من در کلاس ریاضی بفهمن که باید چی کار کنند و چرا باید این کار را بکنند. چه بخواهم و چه نخواهم، بعد از گفتن من آنها گیج خواهند خورد پس بهتر است برای این گیج خوردن ها فکری کنم که به طور مفیدی گیج بخورند
به زبان داستان امروزمان، ما می توانیم به بچه ها بگیم که « اصلا وقتی یه روش حل برای یه معادله داریم، یعنی چی داریم؟» و هر بار که یه روش حل جدید را درس می دیم این سوال و جواب آن را یادآوری کنیم. ولی تا موقعی که فرصت گیج خوردن برای آنها ایجاد نکنیم، نمی توانیم ببینم که آیا گیج می خورند یا نه. پس به نوعی، ارزشیابی، فرصتی است برای گیج خوردن. ولی ایجاد این فرصت ها همچون راحت نیست. مثلا شکل نهایی مساله ی زیر بعد از چند تلاش ناموفق حاصل شد
می دانیم مجموعه جواب های دو معادله ی زیر یکی هستند، بی و سی را پیدا کنید\[10x^2+20x-2020=0\]و\[x^2+bx+c=0\]
می شود این مساله را کلا محاسباتی حل کرد. جواب های معادله با ضرایب معلوم را پیدا کرد. به ماشین محاسبه گر یا بدون آن. آنها را در معادله با ضرایب نامعلوم قرار داد. و این یعنی می دانیم که وقتی چیزی جواب معادله است یعنی چی. بعد دو معادله خواهیم داشت با دو مجهول. می توانیم جواب های این را با ماشین محاسبه گر پیدا کنیم و بدون آن
می شود مساله را با توجه به اینکه اصلا روش حل کردن معادله یعنی چی حل کرد و به این توجه کرد که اگه ما معادله ای که جواب های اون را می دانیم بر یک عدد تقسیم کنیم جواب های آن فرق نمی کند و آنجه می ماند این است که معادله ی اول را بر چی تقسیم کنیم که معادله ی دوم به دست بیاد
آیا این مساله بروبچ را مجبور خواهد کرد که از روش دوم آن را حل کنند؟ نه؟ هیچ مساله ای راه حل را به طور یکتا مشخص نمی کند. ولی اگه بچه ای با روش اول روی مساله گیج بخورد در مواجهه با روش دوم این شانس هست که یهو بگه آها
حالا چی
چیزی که پاسخ به چه می خواهیم را پیچیده می کند این است که نمی توان نسخه ی کلی ای برای آن پیچید و پاسخ آن وابسته است به موضوع ارزشیابی. برای همین، فکر می کنم از این پس جهت نوشته ها (اگر روحیه ای برای نوشتم برایم بماند) را به سمت معرفی شخصیت های داستان و روابط آشکار و پنهان آنها سوق دهم
و اینکه چون هیچ نوشته ای بدون تیکه ای به کتاب های درسی نوشته نمی شود باید بگویم که این ارجاع به کتاب های درسی از شادی زندگی من کاسته است. و این را کاملا جدی می گویم. من هم به عنوان معلم و هم نویسنده و هم علاقه مند به تاریخ و هم آموزشگر ریاضی، با کتاب های درسی دوره های مختلف کار کرده ام و هیچ وقت کتاب های درسی را چنین جزوه ی کنکور گونه ندیده ام. هر موقع که یکی از کتاب ها را باز می کنم این حس را دارم که از از انتشارات بنفشچی یه کتاب کمک درسی خریده ام و دارم وقت ام را صرف اش می کنم. حتی در یک فصل از کتاب هم چیزها به هم ربط داده نشده اند و همه چیز تیکه تیکه های انجام دادنی است. مثال اش همین فصل معادله ی درجه ی دوم در کتاب دهم که واقعا هنرمندی می خواست که اینقدر تیکه تیکه باشد. ولی به هر حال از قدیم گفته اند هنر نزد ایرانیان است و بس. و بعضی از ایرانیان هنرمندتراند از بعضی دیگر
قسمت دوم: سوال اصلی بودن یا نبودن نیست؛ سوال اصلی این است که چه می خواهیم
در قسمت اول «ارزشیابی غیر انسانی ریاضیات» خواندیم که می توانیم با تمرین های رایج به دو شکل برخورد کنیم
کبک وار و بدون توجه به تکنولوژی ای که همه ی جنبه های دیگر زندگی را احاطه کرده
محترمانه وار و با توجه و احترام به تکنولوژی و ماشین های محاسبه گر
مهم ترین نکته اینجاست که یک تمرین یکسان با توجه به اینکه ما کدام نوع برخورد را اتخاذ کنیم، توانایی های متفاوتی را از دانش آموز خواهد طلبید
اما خیلی از وقت ها، توانایی مورد نظر ما با تمرین های رایج بدست نمی آید و مجبوریم جینگولگ بازی در بیاوریم و چیزی به تمرین های رایج بیافزاییم و یا اصولا تمرین های نارایج طراحی کنیم. این قسمت به افزودنی ها می پردازیم
اول بدانیم چه می خواهیم و بعد بیافزاییم
اولین سوالی که در طراحی هر ارزشیابی باید از خودمان بپرسیم این است: قرار است چی را ارزشیابی کنیم
مثلا به این سوال ها نگاه کنید
دوتا کار می شه با آنها کرد
کاری که با حقوق کنونی انجام می دهیم: از دانش آموزان بخواهیم آنها را حل کنند
کاری که اگه حقوق مان یه کمی بیشتر بود انجام می دادیم: اول از خودمان بپرسیم، اصلا چرا دانش آموزان باید آنها را حل کنند
انتخاب دوم، شروع بدبختی و در عین حال خوشبختی است چون هزار جور مختلف می شود به اینکه اصلا چرا دانش آموز باید آنها را حل کند پاسخ داد. این بدبختی است، چون جواب را نمی شود در غالب یک دستورالعمل داد که همیشه استفاده کنی و جواب بدهد. خوشبختی است چون با توجه به کلاس ات و دانش آموزان ات می توانی جینگولک بازی های خودت را داشته باشی. من اینجا با فرض اینکه دارم کتاب درسی را درس می دهم ادامه می دم. چون مهم است که شما را قانع کنم که چگونه می شود حتی در آن چارچوب بسته که شما مجبورید از یک کتاب تحمیل شده استفاده کنید حرکت هایی زد. سوال اساسی را فراموش نکنیم. چه می خواهیم؟ جواب این سوال، به موضوع مورد تدریس ربط دارد. در اینجا موضوع من فرمول کلی حل معادله درجه ی دوم است
چه می خواهیم از فرمول کلی حل معادله ی درجه ی دوم
خیلی چیزها. ولی من در اینجا به کلی ترین آن توجه می کنم: اینکه اصلا «کلی» بودن این فرمول یعنی چی و چه اهمیتی دارد؟ دو تعبیر برای این کلی بودن هست
تعبیر اول: آن را می شود حتی با چشمان بسته هم به کار برد و اصلا مهم نیست که به ضرایب توجه کنی و مثلا به این توجه کنی که آیا مثلا می شه معادله را تجزیه کرد یا نه. راستش این خیلی تعبیر غم انگیزی است چون خیلی حیف است که اگر دانش آموز ما به جای اینکه معادله ی زیر را تجزیه کند، آنرا با فرمول حل کند \[x^2-3x+2=0\]
تعبیر دوم: اینکه می شود از این معادله استفاده کرد و حرف های کلی زد
مثلا تمرین زیر از کتاب درسی را در نظر بگیرید \[4x^2-13x+3=0\]
طبق خواسته کتاب درسی، دانش آموز ما آن را از «روش فرمول کلی» حل کرده است. طبق خواسته ی ما هم ماشین محاسبه گر هم دم دست دارد و هر جوری که مایل است از آن استفاده می کند. حالا، ما سوال زیر را اضافه می کنیم \[4x^2+13x+3=0\]
و می پرسیم به نظرش جواب های این معادله با جواب های معادله ی قبلی چه فرقی می کنند؟ یا شاید، جواب ها فرقی نکنند؟ اصلا، آیا این معادله جواب دارد؟
توجه کنید که سوال را بدون مشخص کردن روش حل پرسیدم. این با خود دانش آموز است که روش خودش را انتخاب کند. می تواند اگر خواست از همان اول هم از ماشین محاسبه گر برای پیدا کردن جواب استفاده کند. قسمت مهم ماجرا بعد از حل است که اتفاق می افتد. چرا؟ چی شد که اینطوری شد؟ دو جور می شود به این سوال جواب داد
جواب اول: حل کردیم شد (که در این صورت، با یه زوج دیگه از این معادله ها کار می کنیم و می بینیم که بازم حل کنیم می شه یا نه)ا
جواب دوم: چون وقتی از فرمول استفاده می کنیم و این اتفاق ها می افتد و وقتی علامت ضریب ایکس را عوض می کنیم این چیزها تغییر نمی کند و این یکی تغییر می کند و اینها اینطوری جواب را تغییر می دهند
واقعا، یعنی تو رو خدا، این مساله را برای خودتان حل کنید و هی از خودتان بپرسید که چه ارتباطات ریاضی واری به سطح می آید. و ضمنا از خودتان بپرسید که حضور ماشین محاسبه گر چه نقشی ایفا می کند
مزیت حضور ماشین محاسبه گر
همه چی بستگی به این دارد که شما در اون لحظه ی خاص با اون مساله ی خاص قرار است چه چیزی را به سطح بیاورید. در مورد بالا، من از مساله به عنوان تمرین جمع و تفریق و ضرب و تقسیم و رادیکال گیری نمی خواهم استفاده کنم. و به همین دلیل نمی خواهم اشتباه محاسباتی دانش آموزان مزاحم آن چیزش شود که می خواهم به سطح بیاید. این یکی از جاهایی است که ماشین محاسبه گر برای آن عالی است. به خصوص که می شود خود معادله را کلا نوشت و جواب گرفت یا حتی می توان از آن عکس گرفت و جواب گرفت و این یعنی اینکه حتی نیاز نیست مثل ماشین حساب های قدیمی دغدغه ی ترتیب عملیات رو داشته باشم و حتی دغدغه اینکه اطلاعات درست وارد بشه. ولی با وجود اینکه به چشم نمی آید، اگر دغدغه حفظ شدن فرمول را دارم، سوالی که به دانش آموز دادیم، داره به حفظ شدن فرمول هم کمک می کنه و به خیلی چیزهای دیگه که به تخیل شما واگذارمی کنم
حالا چی
اگر قرار است یک چیز از این نوشته برآید، عادت به پرسیدن این سوال است که از این مساله چه می خواهم. من هم سعی خواهم کرد در نوشته های بعدی به سمت فرمول های کلی تری برای تغییر سوال های رایج حرکت کنم که همه چیز خیلی خلاقیت وار به نظر نرسه
حرف از فرمول کلی شد، با تیکه ام به کتاب درسی تمام کنم که خداییش ته بی سلیقگی و نادرستی است که به جای اینکه بگوییم اینها را با استفاده از فرمول کلی حل کن بگوییم اینها را با روش فرمول کلی حل کن. برای اینکه تفاوت را ببینید به این دو جمله توجه کنید
این میخ ها را با استفاده از چکش بکوب
این میخ ها را با روش چکش بکوب
در آخر من الان راضی ام که به دانش آموزانم کمک کرده ام که حتی با حقوقی که من می گیرم معنی بدرد بخور و ریاضی واری از کلی بودن را تجربه کنند؛ چیزی که از کتابی که به من تحمیل شده بود درس بدهم در نمی آمد
این قسمت: مقدمه
این را می نویسم تا بعضی از ابهامات سخنرانی «ارزشیابی غیر انسانی ریاضیات» را روشن کنم (فیلم سخنرانی در انتهای این نوشته است). سخنرانی، دو بخش داشت
بخش اول: تکنولوژی و دسترسی آزاد به اطلاعات چه بخواهیم و چه نخواهیم ما را احاطه کرده است. بسیاری از مساله های ریاضیات مدرسه ای به راحتی توسط ماشین های محاسبه گر که در دسترس همه است قابل انجام اند. در نتیجه جواب به این سوال کلاسیک دانش آموزان، هر روز سخت تر از دیروز است: اگر ماشین این ها را انجام می دهد من چرا باید آنها را یاد بگیرم
بخش دوم. بررسی این موضوع است که واقعیت های مطرح شده در بخش اول، چگونه آموزش ما و ارزشیابی ما را دگرگون می کند. آیا اصلا ما باید واکنشی داشته باشیم و یا درهای کلاس ریاضی و امتحان های ریاضی را به استفاده از ماشین های محاسبه گر ببندیم؟
بخش اول، به نوعی بیان واقعیت است. و بعید می دانم ابهامی داشته باشد. بخش دوم. قسمت مبهم ماجراست. مبهم است چون جواب سرراستی به آن وجود ندارد. ولی به هر حال، تلاشکی برای نوشتن آنچه ممکن است حداقل راهنمایی برای خودم باشد می کنم. طبق معمول هر نوشته را فقط به یک جنبه اختصاص خواهم داد که هم نوشته ها کوتاه باشد و هم قابل خواندن. در همه ی نوشته ها، منظورم از ارزشیابی، همه ی موقعیت هایی است که ما از دانش آموزان می خواهیم چیزی را خودشان انجام دهند، صرف نظر از اینکه انجام آن کار نمره دارد یا نه. برای مثال، تعریف من، حل تمرین را شامل می شود و خیلی چیزهای دیگر را. اینطوری که نگاه کنید، خیلی داستان طبیعی جلو می رود. مثلا، خیلی طبیعی می تونیم بپرسیم (از خودمان) که اصلا چرا از دانش آموزان می خواهیم تمرین کنند
تمرین می کنند که یادبگیرند
خیلی از ما با فرهنگ «کار نیکو کردن از پر کردن است» بزرگ می شیم. تفسیر این ضرب المثل در درس ریاضی معمولا این است که هر چی بیشتر تمرین کنی بیشتر یاد می گیری. فرمول کلی حل معادله های درجه دوم را در نظر بگیرید. شما را نمی دانم ولی من این فرمول را با تمرین زیاد «یاد گرفتم». این یادگرفتن دو بخش داشت. یک. حفظ شدن فرمول. دو. استفاده ی درست از آن در موقعیت های مختلف. نکته ی دوم، همیشه اهمیت اش باقی می ماند چون یادگیری استفاده ی درست از یه فرمول، یادگیریِ شبکه ای از مفاهیم است. مثلا در مورد استفاده از فرمول معادله ی درجه دو، اینکه معادله ی داده شده را به شکلی بنویسیم که فرمول را بتوانیم برای اون استفاده کنیم، اینکه بتوانیم با مقادیر مختلف برای آ و ب و س ، فرمول را به درستی به کار بریم و حتی اینکه بتونیم همه ی منفی مثبت ها را درست انجام بدیم جزو استفاده ی درست از فرمول محسوب می شوند. ولی هیچ کدام از اینها نیازمند این نیست که ما فرمول را حفظ باشیم یا حفظ کنیم. همه ی این اتفاق ها می تواند بیافتد در حالی که فرمول را داریم. پس چرا اصرار کنیم که بچه ها فرمول را حفظ باشند
حفظ می کنند که ساختار بسازند
مقاله ای که یادم نمی آید عنوان اش چیست (ولی اگر یادم آمد بعدا لینک خواهم داد) از تیموتی گاورز (یکی از دارندگان مدال فیلدز) هست که در آن از یکی از امتحان های دانشگاه کمبریج که دانشجویان مجبورند تعداد زیادی قضیه را حفظ کنند دفاع می کند. استدلال اش این است که هیچ راهی برای حفظ کردن این تعداد قضیه وجود ندارد مگر اینکه ساختار ریاضی آنها را پیدا کنی و اینکه دانشجویان مجبورند آنها را حفظ کنند به نوعی مجبور کردن آنها به پیدا کردن آن ساختار است. این ممکن است در آن سطح درست باشد اگر چه من دانشجویانی را می شناسم که حافظه ای اسکن مانند دارند و به معنای دقیق کلمه همه چیز را اسکن می کنند. یک نمونه ی آن بعد از یکی از امتحان های نظریه اعداد بود که راه حل یکی از دانشجویان واو به واو با آنچه در جزوه اش بود یکی بود و حتی خط خوردگی ها و اصلاحات هم یکی بود‼ امکان نداشت تقلب نکرده باشد. خواستم بیاید دفترم و از او خواستم یکی از قضایای دیگر را در جلوی چشم من و بدون نگاه به جزوه اش اثبات کند و او آن را واو به واو با همه ی خط خوردگی ها و اصلاحاتی که در جزوه بود انجام داد‼ با وجود این فرض را بر این بگذاریم که در بیشتر موارد آنچه تیموتی گاورز می خواهد واقعا اتفاق بیافتد (اگر چه هیچ مطالعه ای که این را نشان بدهد وجود ندارد). حتی با این فرض، آنچه در حفظ کردن فرمول های ریاضیات محاسباتی اتفاق می افتد در بیشتر مواقع هیچ ربطی به ساختار ریاضی ندارد. بیشتر روش های حفظ کردن روش های شاعرانه ی من در آوردی هستند. به فیلم زیر برای حفظ کردن فرمول معادله درجه دوم نگاه کنید
نکته اینجاست که بیشتر این روش های حفظ کردن در واقع فقط روش های حفظ کردند اند و هیچ خاصیت ریاضی گونه ای ندارند
نتیجه اینکه اگر حفظ نمی کنند که ساختار بسازند، فرمول را بدهید و تمرکز را روی استفاده درست از فرمول در موقعیت های مختلف بگذارید
فرصتی که از دست می رود و ماشین محاسبه گر آن را می قاپد
حالا در موقعیتی هستیم که فرمول را داده ایم و می خواهیم بروبچ آن را استفاده کنند. الان ساده ترین کار این است که هی مساله های مختلف بدیم و از بجه ها بخواهیم آن را با فرمول کلی حل کنند. مثلا مساله های زیر از کتاب درسی
ولی چرا یک دانش آموز باید خودش را مجبور ببیند که آنها را از روش خواسته شده حل کند. چرا باید این ها را با روش فرمول کلی حل کند و قبلی ها را با روش مربع کامل (ربطی به بحث ندارد، ولی نتواستم بر وسوسه ی پرسیدن اینکه آیا روش مربع کامل «کلی» نیست غلبه کنم) ا
اگر قرار به حل باشد که خوب هر دو را ماشین محاسبه گر انجام می دهد. سوال اصلی اینجاست که دانش آموز از کجا باید بداند که هدف ما از این مساله ها این است که او مجبور شود با شبکه ای از مفاهیم مرتبط به آن کلنجار رود. اولین قدم برای این درک، صداقت است. اینکه بگوییم ببین این ماشین محاسبه گر هست، این را انجام می دهد. تو هم می توانی اگر خواستی از آن استفاده کنی جواب خود را چک کنی یا حتی بعدا در موقعیت های دیگر که نیاز به حل چنین معادله ای داری از آن استفاده کنی. ولی الان در ضمن باید این را با دست و از روش خواسته شده حل کنی. و اگر این صداقت را نداشته باشیم، ماشین محاسبه گر فرصتی را که ما می توانستیم ایجاد کنیم را از دستمان می قاپد و فقط به کار محاسبه می آید
حالا چی
حالا اینکه، این نوشته، فقط به جنبه هایی پرداخت که نیاز به هیچ گونه جینگولک بازی و تغییر در تمرین های رایج و جاری ندارند. اینکه فرمول های مورد نیاز را بدهیم و استفاده از ماشین های محاسبه گر را محترم بشماریم، نیازمند تغییر نگاه به موقعیتی است که دانش آموزان ما در آن قرار دارند و لزوما نیازمند تغییر تمرین هایی که به آنها داده می شود نیست. ولی قدم بعدی یا بهتر است بگویم پاسخ به سوال بعدی، نیازمند این خواهد بود که در تمرین ها تغییر ایجاد کنیم. سوال های اساسی اینها است
چگونه می توانیم مطمین شویم که تمرین های محاسباتی ای که داده ایم به تمرین شبکه ی مفاهیم متصل به آن منجر می شوند. در بیشتر مواقع، سوال ها به گونه ای پرسیده می شوند که تنها چیز که مهم می شود این است که درست حل کرده اند یا نه. و اگر دانش آموزی درست حل نکرده باشد، معلوم نیست چرا درست حل نکرده است. کجای کار او می لنگیده
و اینکه ریاضی شبکه ای از مفاهیم به هم پیوسته است. فرمول حل معادله ی درجه دوم به بسیاری از چیزهایی که دانش آموز از اول دبستان یاد گرفته، متصل است. ولی ما نمی خواهیم با هر سوالی همه ی این اتصال ها را به سطح بیاوریم. اینکه کدام اتصال ها را هدف قرار دهیم و چگونه نیازمند چیزی بیشتر از این است که یه تعداد تمرین بدهیم و از آنها بخواهیم آنها را حل کنند. این موضوع نوشته ی بعدی است
فیلم ارزشیابی غیر انسانی ریاضیات هم جایزه اینکه تا اینجا خودتان را رساندید 🙂 ا
One of the many interesting aspects of imaginary numbers is that we can use them to find out “real” facts (facts about real numbers).
Perhaps the most used examples are the derivation of the trigonometric identities for \(sin 2\theta\) and \(cos 2\theta\)*.
This post offers something more exciting and less-known: the radical forms of \(cos \frac{\pi}{12}\) and \(sin \frac{\pi}{12}\).
Consider \(\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i}\)
Algebraically, simplify it and write it in the form of \(a+bi\).
\[\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}+\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4} i\]
We know the answer. But as a wise man once said, mathematics is all about seeing the same thing from different angles (or something like this). So let us, calculate the same thing in some other way.
We write \(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\) and \(\frac {\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\) in the form \(r e^{i\alpha}\). And then evaluate the original fraction , that is going to be:
\[\frac{e^{i \frac{\pi}{3}}}{e^{i \frac{\pi}{4}}}\]
That can be simplified as \[e^{i \frac{\pi}{12}}\] That, can be written as \[cos \frac{\pi}{12}+i sin\frac{\pi}{12}\] Compare this result with the one we had in the form of \(a+bi\) above, where \(a\) and \(b\) were in a radical form. They are the same things, represented in two different forms. Thus, their real parts should be equal with each other, and also their imaginary part should be equal with each other. So, we have:
\[cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\]
\[sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\]
\[cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\]
\[sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\]
Design a problem to find \(cos \frac{\pi}{8}\) and \(sin \frac{\pi}{8}\) in the radical form.
* We know that (a post will be written for this):
\[(cos \alpha + i sin \alpha)^2=cos (2\alpha) + i sin(2\alpha)\]
Remember what the wise man once said and find \((cos\alpha+i sin\alpha)^{2}\) by actually finding the power. Then we have:
\[(cos \alpha + i sin \alpha)^2=(cos^2\alpha -sin^2\alpha)+ i (2 sin\alpha cos\alpha)\] The right sides of the above two equality are the same represented in two different forms (both are equal to the same left side). So the real parts of the two should be equal, and the imaginary parts of the two should be also equal.
\[cos 2\alpha=cos^2 \alpha -sin^2 \alpha\]\[sin 2\alpha=2 sin \alpha cos\alpha\]
Design a problem to find \(cos 3\alpha\) and \(sin 3\alpha\) .
Where is \(i^{127}\)?
If you have read i Cycle, the Sum of Powers, you have already experienced the powers of i, and their hidden cycle. This is a much basic problem and in fact, it is a prerequisite for understanding i Cycle, the Sum of Powers and everything else about complex numbers (okay, it is a bit exaggeration to say so, but you got the point, it is very important).
What is the problem here?
Notice that I could ask the “same” problem just using a different power. For example, I could ask: Where is \(i^{39}\)? You see, the problem here is not about finding this or that power of \(i\), it is about finding the pattern governing these powers.
The fundamental power in this case is two, as it is the power used in the definition of \(i\): \[i^2=-1\].
Furthermore, So if our question was Where is \(i^2\), we knew the answer is C. From, this starting point, we can see \(i^3=i^2*i=-i\) is the point D, \(i^4=i^2*i^2=1\) is on the point A, \(i^5=i^4*i=i\) is on the point B, and \(i^6=i^4*i^2=-1\) is on the point C, that happens to be the point we started our 90 degrees anticlockwise journey.
It doesn’t matter where we start our rotation. But, maybe, the point A is the most natural starting point. Starting from A, the powers are:
\[i^0, i^1, i^2, i^3, i^4, i^5, …\]
They look different from each other, but we know that there are only four fundamentally different number, as the above sequence is in fact the following sequence:
\[1, i, -1, -i, 1, i, -1, -i, …\]
So, to find the answer to our original question, we only need to put aside the fours that goes into 127 and see what remains.
Starting from the point A, has another interesting advantage. It gives meaning the the very definition of \(i\). Think of \(i\) as \(i \times 1\). You might say, okay so what, isn’t it obvious that \(i \times 1=i\). Yes, but, notice that the left side is the process of multiplication and the right side is the result of the process. In this case, the process has an important interpretation, that is rotating 90 degrees anticlockwise. That is to say, when we multiply the point A (that happens to be \((1,0)\)) by \(i\) it goes to the point B, and likewise, when we multiply the point B by \(i\), it goes to the point C. In other words, \(i\times i\times 1=-1\).
Voila: \[i^2=-1\]
\[1+i+i^2+i^3+…+i^{57}\] Do I need to say what the question is?
“Find the sum!” is the immediate question that comes to mind when you start mathematics. When you gain more experience in mathematics, you learn to ask a deeper question:
What is the pattern?
You know, 57 is irrelevant. The only important thing here is the general question of the finding the sum without actually doing all the additions. However, to get to the point of finding the sum without actually doing all the additions, we should experiment with actual additions first! For example, let us find the sum of the first seven terms.
Please find it before continuing reading.
Did you notice that to have 7 terms, the last power in the sum should be 6 and not 7, and that means we should calculate \[1+i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6\] and not \[1+i+i^2+i^3+i^4+i^5+i^6+i^7\].
This was not a trick. In fact, thinking in terms of the number of terms is the key to the pattern that we are looking for.
What is the sum of the first two terms?
What is the sum of the first three terms?
What is the sum of the first four terms?
What is the sum of the first five terms? The first six? The first seven?
Let us also include “the sum of the first term”. It is silly, but you see why it is useful. Here are the results starting from “the sum of the first term”, following by “the sum of the first two terms”, then, the sum of the first three term”, and so on.
\[1,1+i, i, 0, 1, 1+i, i, 0, …\]
See, the sum of the first four terms is 0, the sum of the first eight terms is 0, and so on. And then, after each 0, we have 1, 1+i, and i. Now if we want to know what is \(1+i+i^2+i^3+…+i^{57}\) we only need to know how many fours goes into 58 (that is the number of terms). This number of fours only matters to us, as long as it helps us to find how many terms remain. In this case, no terms remains. So, the sum is 0.
\[1+\frac{1}{i}+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{i^3}+…+\frac{1}{i^{2019}}\]
Do I need to say what the question is?