Categories
History Number Conception review

در ستایش علامت منفی

در ریاضی چنین می کنند

چند وقت پیش یه فیلم کوچولو با همین عنوان به اشتراک گذاشتم (فیلم را در پایین این نوشته ببینید.) ولی فکر می کنم بدون یه توضیح اضافی خیلی درک نشه. هدف این نوشته دادن آن توضیح است که در واقع مهمترین بخش مقاله ای است که به زودی منتشر خواهد شد. بعلاوه، جمله ی زیر هم از کتاب ریاضی ششم رمز گشایی می شود

در ریاضی برای نمایش اعدادی که در دو موقعیت مختلف مانند بالای صفر و زیر صفر به کار می روند از علامت های + و – استفاده می کنیم

خاطره ای از مرحوم میرزا جلیلی نازنین

فکر نمی کنم این خاطره جایی مکتوب شده باشد (اگر شده من نمی دانم و لطفا بگویید که به آن ارجاع دهم). آن زمان های جاهلی و جوانی که در دفتر تالیف «کار» می کردم این شانس رو داشتم که گهگاهی به خاطرات مرحوم جلیلی گوش کنم. یه روز تعریف می کردند  اون قدیم ها وقتی داشتن کتاب می نوشتن، وقتی به اعداد منفی رسیدند می خواستند مثل کتاب های درسی فرانسه وقتی اون رو معرفی می کنند، علامت منفی رو بالا و سمت چپ عدد قرار بدهند که از علامت منهی متمایز بشه. ولی امکانات حروف چینی اون زمان اجازه ی این کار رو بهشون نمی ده و مجبور می شن، از همان روش معمول نمایش اعداد منفی استفاده کنند. اون وقت ها، این برای من از این لحاظ جالب بود که فکر می کردم این تمایز باید ایجاد بشه. ولی حالا بعد از این همه سال، تازه پی بردم که نباید بشه و اینکه «در ریاضی» از این علامت ها استفاده می شه دلیل داره

علامت ها قبل از اعداد صحیح

 به طور تاریخی، قوانین علامت ها قبل از اینکه ملت اعداد منفی را به رسمیت بشناسن، مورد احترام و استفاده بوده. این یعنی که از مثلا «منفی در منفی مثبت است» استفاده می کردند بدون اینکه اعداد منفی را بشناسند یا اگر هم به گوششان خورده بود، آنرا به رسمیت نمی شناختند. پس کجا استفاده می کردند؟ در طبیعی ترین جای ممکن: حساب

فرض کنید می خواهید \(۹۹^{۲}\) را ذهنی حساب کنید. به اون به شکل\((۱۰۰-۱)(۱۰۰-۱)\) فکر می کنید و باقی ماجرا. بعد موقعی که همان حساب را به شکل جبری بیان می کنید با عبارت کلی تر زیر کار می کنید

\[(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd\]

و برای اینکه آن را به خاطر بسپارید با در عمل به کار گیرید همه ی منفی در منفی، و مثبت در منفی و این چیزها را به کار می گیرید. و توجه کنید که هنوز، کل ماجرا به اعداد منفی و مثبت هیچ ربطی ندارد و شما همچان در قلمرو اعداد طبیعی قرار دارید و تازه می خواهید قدم بعدی را بردارید و وارد قلمرو بزرگ تری شوید

علامت تحمیلی

الان در مرحله ای هستید که  موجودات جدیدی (اعداد منفی) در حال اضافه شده به قلمرو طبیعی شما هستند. اول نمی دانید آنها را چگونه بهتر است نمایش دهید. در فیلمی که در انتهای این نوشته می بینید من از علامت  تقسیم برای آنها استفاده کرده ام. نرجسِ کتاب کلاس ششم از یه مربع در سمت چپ عدد استفاده می کند. ولی اینجا برای راحتی تایپ، از ستاره استفاده می کنم. مثلا منفی۵ را با ۵* نشان می دهم. هر جور که این ها را نشان دهیم یه چیزی مثل \(*۵. *۷=۳۵\) برقرار است. به عبارتی، ستاره در ستاره می شه مثبت و به طور کلی تر همه قوانینی که در مورد منها ها در حساب داشتیم در مورد ستاره ها برقرار است

در اینجا می تونیم بگیم خوب حالا که قوانین این علامت ها درست مثل همان کارهاست که ما با منها و بعلاوه در حساب انجام می دادیم چه کاریه که از یه نماد جدید استفاده کنیم. و تاریخ برای این «انتخاب» نباید خیلی هم زحمت می کشیده چون اعداد منفی در زمینه ی «تفریق های ناممکن» (عدد کوچک منهای عدد بزرگ) ظاهر می شدند و یه جورهایی علامت منها تحمیل شد. ولی این تحمیل شدن یه نتیجه ی فکر نشده به همراه داشت که خیلی با ماهیت ریاضیات هم خوانی دارد

ریاضی، موجودی به هم پیوسته است

من همچنان لجبازی می کنم و با ستاره به کار ادامه می دم. بعد از مدتی کار با عبارت های ساده و مثلا جمع کردن یه عدد ستاره دار با یه عدد ستاره دار دیگه به یک چیزی مثل عبارت زیر می رسم

\[(۳-۵)(۴-۷)\]و اینجاست که یهو یه اتفاق باور نکردنی می افته. در حساب، به یه چنین موجودی که می رسیدیم راحت منفی در منفی و این کار ها را می کردیم و به نتیجه می رسیدم.  الان هیچ کدام از دو پرانتزی که داریم در هم ضرب می کنیم در حساب معنی ندارد. ولی ما همچنان می توانیم از همان روش حساب استفاده کنیم و بنویسیم

\[۳.۴-۳.۷-۵.۴+۵.۷=۶\] این قسمت ماجرا در حساب معنی دارد. و اگر آن دو پرانتز قرار است معنی ای داشته باشند حاصل ضرب آنها باید ۶ باشد. و این اتفاق می افتد. وقتی حاصل هر پرانتز را اول حساب می کنیم و بعد در هم ضرب می کنیم داریم

\[*۲.*۳=۶\]تا اینجای ماجرا همه چیز به خیر و خوشی جلو می ره و خیلی فرقی نمی کنه که داریم از اعداد منفی دار استفاده می کنیم یا ستاره دار. ولی یهو ممکنه از خودمون بپرسیم اصلا چرا اون کاری که در حساب می کردیم و اون روشی که پرانتزها را در هم ضرب می کردیم اینجا هم جواب می ده. در حساب اون کار یه توجیح هندسی داره ولی وقتی یه عدد بزرگ را از یه عدد کوچک کم می کنیم دیگه اون توجیه کار نمی کنه. در این لحظه، تلاش می کنیم عبارت ضرب را طور دیگری هم بنویسیم و ببینم چه می شود

\[(۳+*۵)(۴+*۷)\]یادمون باشه که ما قبلا با جمع و تفریق اعداد ستاره دار کار کرده ایم و اینکه می توانیم تفریق را به شکل جمع با یک عدد ستاره دار بنویسیم چیز تازه ای برایمان نیست. حالا اگه قرار باشه یه قانون از حساب در اینجا هم درست باشه، همان توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع است

\[۳.۴+۳.*۷+*۵.۴+*۵.*۷\] و چون قبلا با جمع و ضرب اعداد ستاره دار کار کردیم این را به شکل زیر ساده می کنیم

\[۳.۴-۳.۷-۵.۴+۵.۷\]  و اینجاست که یهو یه جرقه می زنیم (البته این یهو برای من چهل سال طول کشید)ا

تعریف» تفریق»

\[a-b=a+*b\]  در واقع مجوزی برای ضرب علامت هاست

با این حساب، وقتی داریم منهای پرانتز اول را در منهای پرانتز دوم ضرب می کنیم، در واقع داریم یه عدد ستاره دار از پرانتز اول را در یه عدد ستاره دار از پرانتز دوم ضرب می کنیم. و خوب چه کاریه که اصلا از ستاره استفاده کنیم وقتی خود اون علامت منها داره همان کار را می کند. به جای اینکه اون مسیر طولانی را برای رسیدن از

\[(۳-۵)(۴-۷)\]به 

\[۳.۴-۳.۷-۵.۴+۵.۷\] طی کنیم که از کلی ستاره می گذره. می تونیم از همان منها در منها، مثبت در منها استفاده کنیم 

حالا برای محکم کاری و یادآوری اینکه ما علامت منهای تفربق را در هم ضرب نمی کنیم بلکه در واقع داریم عدد های علامت دار را در هم ضرب می کنیم می تونیم بهش بگوییم علامت منفی به جای اینکه بگیم علامت منها

حالا چی

اینکه «در ریاضی» چنین و چنان می کنند، دلیل دارند که چنین و چنان می کنند

و اینکه به عنوان جایزه به فیلم زیر نگاه کنید 🙂 ا 

 

Categories
History review Teaching Ideas

قضیه عروس

درست وقتی فکر می کنی می دونی

همین اول بگم اونقدر از کتاب های درسی نا امیدم که دیگه حال اینکه در موردشون بنویسم ندارم. برای همین آخر این نوشته فقط یه گیر کوچولویی به کتاب هشتم می دم. چرا کتاب هشتم. چون کتاب هشتم اونجایی است که قضیه ی مورد اشاره ی این نوشته آموزش داده می شه. ها، اگه نمی دونین قضیه ی عروس دیگه چیه، نگران نشین، من هم تا دیروز نمی دونستم که یه وقت هایی به قضیه ی فیثاغورس می گفتن قضیه ی عروس. چی شد که فهمیدم رو و خیلی چیزهای دیگر را می خوانیم

چی شد که فهمیدم

در سایت دوست ریاضی، یه گروه هیچان انگیز هست به اسم جئوبوزجانی. هدف گروه این بود (یا هست) که کارهای هندسی بوزجانی رو با  جئوجبرا باز تولید کنه. چون فکر می کنم این کار خیلی مهم و به درد بخور خواهد بود، هی هرازگاهی به سرم می زنه یه سر و سامانی به آنچه آن گروه تولید کرده بدم. اما هی بعد از یه کوچولو کار، حوصله ام تموم می شه. ولی به جاش هر بار یه چیز جدید هم یاد می گیرم. دیروز یکی از مهم ترین این چیزها اتفاق افتاد

رفتم خود کتاب بوزجانی را یه ورقی زدم که یهو به این شکل برخوردم

می دونستم که این شکل، خیلی شکل کلاسیکی است در رابطه با قضیه ی فیثاغورس. پس رفتم ببینم بوزجانی چه جوری اون رو مطرح کرده و اونجا بود که اسمی از فیثاغورس نیافتم و به جای آن قضیه ی عروس را یافتم

اما چرا عروس

توماس هیث که کتاب های اقلیدس رو ترجمه و حاشیه نویسی کرده، یه توضیح با نمکی در مورد اسم گذاری قضیه فیثاغورس می ده. اینکه برای مصری ها این خیلی هیجان انگیز بوده که یه مثلث که یه شکل است به اعداد ۳ و ۴ و ۵  یه همچین پیوند فرخنده ای دارد و به دلایلی که پیچیده تر از این بود که من بفهمم، ۳ نقش مرد و ۴ (دو به توان دو) نقش زن و ۵ بچه را در این ماجرا بازی می کردند. بچه به این دلیل که هم اثری از پدر دارد و هم از مادر، چون جمع ۳ و ۲ است. خیلی با حال بود، ولی آنچه بوزجانی با من انجام داد مهم تر است

چگونه بوزجانی با عوض کردن زمینه، نگاه من را عوض کرد

اکثر اثبات های هندسی قضیه ی فیثاغورس به طور مبتذلی از آسمان می افتند پایین. همه اینطوری هستند که این دو تا مربع رو ببین، بعد این رو با اون مقایسه کن و باقی ماجرا. هیچ وقت هم اون بنده خدایی که داره اون دو تا مربع را می بیند، نمی فهمه آخه چرا اون مربع این مربع شد. بوزجانی جواب این سوال را می دهد. چگونه؟ با پرسیدن سوال در زمینه ی درست

عنوان یک فصل کتاب بوزجانی هست: در تقسیم کردن یک مربع به چند مربع و به دست آورن یک مربع از ترکیب چند مربع. فصل با سوال های خیلی ساده شروع می شه و به تدریج جلو می ره. مثلا اینکه چه جوری یه مربع بزرگ را به ۹ مربع کوچک تقسیم کنیم یا چگونه با ۴  مربع هم اندازه یه مربع بزرگ بسازیم. فصل همین طوری آروم آروم جلو می ره تا به این سوال می رسه که «می خواهیم از دو مربع نامساوی مربع دیگر بسازیم». و این سوال قضیه ی عروس را در زمینه ای قرار می دهد که عروسی را به بهترین وجه ممکن موجه می کند. از اینجا به بعد را به بوزجانی می سپارم. امیدوارم از آن لذت ببرید

حالا چی

حالا اینکه وقت این است که تیکه ام را به کتاب درسی بیاندازم و آن اینکه اگه تاریخ رو از زمینه اون جدا کنین نه به تاریخ لطف کردین نه به دانش آموزها. این رو به خاطر بی سلیقگی کتاب هشتم در نحوه ی ارجاع به ابوالعباس نیریزی نوشتم که مثال مشخصی است از آنچه یهو از آسمان می افته پایین: به این دوتا مربع نگاه کن و نتیجه بگیر. برای درک بیشتر این نحوه ی استفاده از تاریخ واقعا توصیه می کنم داستان کوکب خانم را در اولین جلسه ی تاریخ ریاضی ببیند. تیکه ی غلیظ تر اینکه اگه من قرار باشه همین الان یه کتاب را به عنوان درسی انتخاب کنم، کتاب بوزجانی را انتخاب می کنم، نه کتاب آموزش و پرورش را. فکرش رو بکن، کتاب بوزجانی هزار و خورده ای سال پیش نوشته شده و این یعنی اینکه تاریخ تاریخ کردن دردی رو از کسی دوا نمی کنه، ولی یادگرفتن از تاریخ می کنه

Categories
Number Conception Persian review Textbook

وقتی یک دوم برابر یک سوم است

داشتم از دوست خوبم، زهره پندی، در مورد روش آموزشی ای که برای معرفی کسر به نظرم رسیده بود مشورت می گرفتم که این مکالمه رخ داد

من با خوشحالی و هیجان : ببین خوبی این روش (که هنوز در دست کار است) این است که نسبت ها را به طور معنی داری به کسر مربوط می کنه

 زهره با دودلی و یه جوری که حال من رو نگیره: ولی من خیلی دوست ندارم این دوتا با هم قاطی بشن

من با تعجب: یعنی چی. آخه اینها خیلی بهم ربط دارند

زهره: ولی چرا اصلا باید یکی رو که مربوط به جز به جز است (نسبت) با یکی که مربوط به جز به کل است (کسر) قاطی کرد

من، همچنان با تعجب که چطور زهره این حرف را می زند: خیلی به هم ربط دارند

زهره: آره. ولی نمی شه که هر دو رو یه جور نمایش داد

من: البته که نمی شه، برای همین یکی را با دو نقطه  نشان می دهند؛ مثلا نسبت دو به سه را این طوری نشان می دهیم

\[۲:۳\]

و کسر دوسوم را اینطوری

\[\frac{۲}{۳}\]

زهره. ولی تو کتاب دبستان، هر دو رو یه جور نمایش دادند

من: نه!!!!!!!!!!!!!ا

و خداییش در اون فاصله که زهره رفت برام پیدا کنه کجا، همش فکر می کردم داره اشتباه می کنه و چنین چیزی امکان نداره. ولی متاسفانه امکان داشت. و اگر شما هم مثل من باور نمی کنید، این هم سند از کتاب پنجم دبستان، فصل نسبت

این موجود

\[\frac{۲}{۳}\]

از کلاس سوم دبستان، دو قسمت از سه قسمت مساوی را نشان می داد، و در این لحظه ناگهان نسبت دو به سه را. این هم سند از سوم دبستان

حالا حتما می گن حالا مگه چیه اونجا فصل کسر بود و اینجا فصل نسبت. بدبختی اینجاست که قشنگی ریاضی در این است که به فصل و اینجا و اونجا ربط نداره. چرا این قشنگی، بدبختی است. جمع زیر را انجام دهید تا توضیح بدم

\[\frac{۲}{۳}+\frac{۳}{۴}\]

فکر کنم شما هم با من هم عقیده باشین که چه سوم دبستان، چه پنجم دبستان، چه هزارم دبستان، این جمع باید یه معنی داشته باشه و با اون معنی ای که من و شما می شناسیم می تونیم اون رو حساب کنیم که 

\[\frac{۲}{۳}+\frac{۳}{۴}=\frac{۱۷}{۱۲}\]

حالا اون بچه ی دبستانی رو در نظر بگیر که با مساله ی زیر روبرو شده 

الف. نسبت مربع های آبی به قرمز را بنویس

ب. نسبت دایره های آبی به قرمز را بنویس

ج. نسبت شکل های آبی به قرمز را بنویس

این دانش آموز ما به سبک کتاب پنجم ، الف را با کسر دو سوم نمایش داده، و ب را با کسر سه چهارم، بدون شک می دونه که اولین تعبیر جمع مربوط به روی هم ریختن و همه را با هم  در نظر گرفتن می شه. با این تعبیر برای پاسخ به ج جمع زیر را می نویسد 

\[\frac{۲}{۳}+\frac{۳}{۴}\]

و برای پیدا کردن حاصل جمع به شکل رجوع می کند و به دست می آورد که 

\[\frac{۲}{۳}+\frac{۳}{۴}=\frac{۵}{۷}\]

که اتفاقا واقعا جواب مساله است!!! ولی بدبختی اینجا است که دو تا کسر اینطوری جمع نمی شن. چون خوشبختانه ریاضی به کلاس سوم و پنجم و اینجا و اونجا ربط نداره

حالا چی

حالا اینکه درسته که نسبت ها به کسرها ربط دارند ولی نه به سبک کتاب ها ی دبستان. به سبک  کتاب دبستان اینطوری می شه که می تونین از شکل زیر استفاده کنین و نشون بدین که یک دوم با یک سوم برابر است

چه جوری. اینطوری که به سبک سوم دبستان به سوال اول جواب بده و به سبک پنجم دبستان به سوال دوم

سوم دبستان: چه کسری از شکل آبی است

پنجم دبستان: نسبت آبی به قرمز را بنویس

Categories
Persian review Textbook

داستان طولی که طول است

وقتی «داستان طولی که طول نیست » را نوشتم فردی به نام ز.پ یادداشتی گذاشت و خواست که آنچه دوستم انجام داده یا می دهد را بنویسم. با دوستم تماس گرفتم و متوجه شدم او از روش خودش هم خیلی راضی به نظر نمی رسد. به همین دلیل با توجه به اینکه من برای ز.پ خیلی احترام قایل ام (اگر چه سخت بود بدانم او کیست 🙂 ) تصمیم گرفتم آنچه فکر می کنم باید انجام می شده را بنویسم

برای آنها که با ادبیات کتاب آشنا هستند با این شروع کنم که ادبیات کتاب گیج کننده است (اگر نگویم نادرست) پس لطفا آن را از ذهن خود خارج کنید. اصلا اینطوری فکر کنین که 

چیزی به اسم اندازه ی کمان و طول کمان نداریم

حالا همه چیز رو از اول شروع می کنیم

یه دایره بکش و یه نقطه روی محیط اون قرار بده. این نقطه قرار است همان جایی که گذاشتی بماند و در ادامه ی بحث جای آن تغییر نمی کند. این نقطه قرار است یک سر یک کمانی از دایره  باشد

توجه کن برای مشخص کردن یک کمان فقط کافی* است جای اون یکی نقطه را روی دایره مشخص کنی. البته با یه نیمچه قرار داد

*قرار داد کن که جای اون یکی نقطه را در خلاف جهت عقربه های ساعت مشخص می کنی. البته می شه در جهت هم رفت ولی خلاف جهت بعدا هم به درد می خورد

حالا اون یکی نقطه را دو جور می توانی مشخص کنی، با زاویه یا طول

زاویه ای که از نقطه ثابت تو دارد یا طولی که از نقطه ثابت تو دارد

نکته ی مهم این است که داری جای یک نقطه را مشخص می کنی به دو روش
مختلف

اگر زاویه را در نظر بگیری، جای آن نقطه را می توانی با نسبتی از سیصد و شصت درجه مشخص کنی

اگر طول را در نظر بگیری، جای آن نقطه را می توانی با نسبتی از محیط دایره مشخص کنی

ولی یادت باشد که هر دوی این نسبت ها دارن جای نقطه ی یکسانی را مشخص
می کنند پس باید با هم یکی باشند یعنی متناسب باشند

و در آخر یادت است آن نقطه ای را که ثابت در نظر گرفته بودیم. اون می تواند هر جای دایره باشد. اینجا اونجا. بعدها این نقطه همان نقطه ای است که روی محور ایکس ها و روی دایره ای به شعاع یک ثابت می شود و باقی ماجرا

حالا چی

اینکه وقتی این موضوع را درس می دهی به جای اینکه از آن اول هر دو نقطه انتهایی کمان را هی اینور و اونور قرار بدی، بهتر است یکی از آنها را ثابت در نظر بگیری. و اینکه تمرکز را روی نحوه ی مشخص کردن جای آن یکی نقطه قرار بدی و باقی داستان خودش می آید