Categories
History review Teaching Ideas

قضیه عروس

درست وقتی فکر می کنی می دونی

همین اول بگم اونقدر از کتاب های درسی نا امیدم که دیگه حال اینکه در موردشون بنویسم ندارم. برای همین آخر این نوشته فقط یه گیر کوچولویی به کتاب هشتم می دم. چرا کتاب هشتم. چون کتاب هشتم اونجایی است که قضیه ی مورد اشاره ی این نوشته آموزش داده می شه. ها، اگه نمی دونین قضیه ی عروس دیگه چیه، نگران نشین، من هم تا دیروز نمی دونستم که یه وقت هایی به قضیه ی فیثاغورس می گفتن قضیه ی عروس. چی شد که فهمیدم رو و خیلی چیزهای دیگر را می خوانیم

چی شد که فهمیدم

در سایت دوست ریاضی، یه گروه هیچان انگیز هست به اسم جئوبوزجانی. هدف گروه این بود (یا هست) که کارهای هندسی بوزجانی رو با  جئوجبرا باز تولید کنه. چون فکر می کنم این کار خیلی مهم و به درد بخور خواهد بود، هی هرازگاهی به سرم می زنه یه سر و سامانی به آنچه آن گروه تولید کرده بدم. اما هی بعد از یه کوچولو کار، حوصله ام تموم می شه. ولی به جاش هر بار یه چیز جدید هم یاد می گیرم. دیروز یکی از مهم ترین این چیزها اتفاق افتاد

رفتم خود کتاب بوزجانی را یه ورقی زدم که یهو به این شکل برخوردم

می دونستم که این شکل، خیلی شکل کلاسیکی است در رابطه با قضیه ی فیثاغورس. پس رفتم ببینم بوزجانی چه جوری اون رو مطرح کرده و اونجا بود که اسمی از فیثاغورس نیافتم و به جای آن قضیه ی عروس را یافتم

اما چرا عروس

توماس هیث که کتاب های اقلیدس رو ترجمه و حاشیه نویسی کرده، یه توضیح با نمکی در مورد اسم گذاری قضیه فیثاغورس می ده. اینکه برای مصری ها این خیلی هیجان انگیز بوده که یه مثلث که یه شکل است به اعداد ۳ و ۴ و ۵  یه همچین پیوند فرخنده ای دارد و به دلایلی که پیچیده تر از این بود که من بفهمم، ۳ نقش مرد و ۴ (دو به توان دو) نقش زن و ۵ بچه را در این ماجرا بازی می کردند. بچه به این دلیل که هم اثری از پدر دارد و هم از مادر، چون جمع ۳ و ۲ است. خیلی با حال بود، ولی آنچه بوزجانی با من انجام داد مهم تر است

چگونه بوزجانی با عوض کردن زمینه، نگاه من را عوض کرد

اکثر اثبات های هندسی قضیه ی فیثاغورس به طور مبتذلی از آسمان می افتند پایین. همه اینطوری هستند که این دو تا مربع رو ببین، بعد این رو با اون مقایسه کن و باقی ماجرا. هیچ وقت هم اون بنده خدایی که داره اون دو تا مربع را می بیند، نمی فهمه آخه چرا اون مربع این مربع شد. بوزجانی جواب این سوال را می دهد. چگونه؟ با پرسیدن سوال در زمینه ی درست

عنوان یک فصل کتاب بوزجانی هست: در تقسیم کردن یک مربع به چند مربع و به دست آورن یک مربع از ترکیب چند مربع. فصل با سوال های خیلی ساده شروع می شه و به تدریج جلو می ره. مثلا اینکه چه جوری یه مربع بزرگ را به ۹ مربع کوچک تقسیم کنیم یا چگونه با ۴  مربع هم اندازه یه مربع بزرگ بسازیم. فصل همین طوری آروم آروم جلو می ره تا به این سوال می رسه که «می خواهیم از دو مربع نامساوی مربع دیگر بسازیم». و این سوال قضیه ی عروس را در زمینه ای قرار می دهد که عروسی را به بهترین وجه ممکن موجه می کند. از اینجا به بعد را به بوزجانی می سپارم. امیدوارم از آن لذت ببرید

حالا چی

حالا اینکه وقت این است که تیکه ام را به کتاب درسی بیاندازم و آن اینکه اگه تاریخ رو از زمینه اون جدا کنین نه به تاریخ لطف کردین نه به دانش آموزها. این رو به خاطر بی سلیقگی کتاب هشتم در نحوه ی ارجاع به ابوالعباس نیریزی نوشتم که مثال مشخصی است از آنچه یهو از آسمان می افته پایین: به این دوتا مربع نگاه کن و نتیجه بگیر. برای درک بیشتر این نحوه ی استفاده از تاریخ واقعا توصیه می کنم داستان کوکب خانم را در اولین جلسه ی تاریخ ریاضی ببیند. تیکه ی غلیظ تر اینکه اگه من قرار باشه همین الان یه کتاب را به عنوان درسی انتخاب کنم، کتاب بوزجانی را انتخاب می کنم، نه کتاب آموزش و پرورش را. فکرش رو بکن، کتاب بوزجانی هزار و خورده ای سال پیش نوشته شده و این یعنی اینکه تاریخ تاریخ کردن دردی رو از کسی دوا نمی کنه، ولی یادگرفتن از تاریخ می کنه

Categories
Teaching Ideas Textbook قصه های مجید

قصه های مجید، فصل سوم

این قسمت: وقتی مریم نپرسیده می جوابد

اول اینکه می دانم ادبیات عنوان این قسمت چندان درست نیست. ولی وقتی داستان را بخوانید متوجه ی چرایی انتخاب آن خواهید شد

دوم اینکه در قصه های مجید ۲ قول داده بودم که این قسمت در مورد گاوسِ مجید اینها بنویسم. ولی همینطور که داشتم کتاب های درسی را ورق می زدم، هی خوراک های مختلفی به خوردم داده می شد، اینقدر داده شد که دارم این را می نویسم و بعدا در مورد گاوسِ مجید اینها می نویسم (راستش در موردش هنوز افکار خودم هم جمع و جور نیست.)ا

اما این قسمت را با پیغام آن شروع می کنم: برای سوال نپرسیده، جواب ننویسید

و اگر کنجکاوید این یعنی چی به این تکه از کتاب ریاضی دهم نگاه کنید

من اگه جای این معلم بودم، احتمالا می پرسیدم خوب حالا از اینکه قطر را حساب کردیم چه کمکی می تونیم بگیریم. اگر چه خدایشش اصلا نمی دونم چرا از همون اول به جای یه مثلث قایم الزاویه با یه زاویه  ۴۵ درجه، یه مربع کشیده شده! خوبیش اینه که مریم این ها به این کارها کار ندارند و همینطوری جواب می دهند.  اون مریم آخری خیلی جالب است (نه به این دلیل که اسمش واقعا مریم است) بلکه به این دلیل که یه جوری می گه «اکنون» انگار که می خواد برای حساب کردن تانژانت از تقسیم سینوس بر کسینوس استفاده کنه ولی بعد رکب می زنه و از ضلع مقابل به مجاور استفاده می کنه.  خوب یه نفر نیست بگه پس دیگه «اکنون» گفتن ات چی بود 

حالا چی

حالا اینکه «جواب سوال نپرسیده را دادن» پدیده ای است که همه ی ما باید هر لحظه از آن آگاه باشیم و این من و تو نداره. مثلا در یکی از کلاس هایی که اخیرا داشتم، یکی از بچه ها برام نوشت

Also we don’t always follow the points your trying to make as we can see you have an answer but we don’t always feel we know the start of the problem

که فارسی اون این می شه که ما می دیدیم تو داری به یه چیزی جواب می دی ولی نمی دیدیم اون چیه که داری به اون جواب می دی

چون این روزها دعوت به چالش مد است، شما را به این چالش دعوت می کنم که به کتاب های درسی نگاه کنید و ببیند کجاها در این تله افتاده است و آن را در کامنت ذکر کنید (اگر دوست دارید). خودتان هم که مواظب باشید دیگه

آخر اینکه من خیلی سعی می کنم که هر کدوم از این نوشته ها فقط به یک موضوع بپردازه. ولی با توجه به قصه های مجید ۲ باید بگم مریم های قصه های مجید ۳ به هر حال اوضاع بهتری دارند. اگر چه کتاب دهم، دو سه تا مجید واقعا نابغه دارد که این مریم ها به گرد پایشان هم نمی رسند. به این موضوع وقتی گاوس مجید اینها را نوشتم برخواهم گشت

Categories
Number Conception Persian Teaching Ideas Textbook

عدد پی یک نسبت است

هدف اصلی این نوشته روشن کردن این موضوع است که پارگراف زیر از کتاب پنجم دبستان چگونه باید آموزش داده می شد 

اول اینکه روش کتاب به یه دلیل ساده بی معنی است. «آنها» همان کار را برای دایره ای با شعاع ۳ انجام داده اند و وقتی آنچه برای محیط یافته اند را بر قطر تقسیم می کنی، عددی که به دست  می آید، ۳/۱ است. بعد محیط را برای دایره بعدی یه جوری انجام داده اند که دقیقا عدد ۳/۱۴ بدست می آید! و البته خیلی بعید است که دانش آموز هم محیط دایره ای را که بریده همانگونه اندازه بگیرد که ۳/۱۴ به دست بیاید. تازه فرض هم کن بیاید، تنها چیز معقولی که می شود اینجا گفت این است که محیط دایره تقریبا سه برابر قطر آن است  

دوم اینکه روش کتاب به یک دلیل عمیق تر هم بی معنی است. اینکه به همه ی آنچه در خود کتاب و در کتاب های قبل از کلاس پنجم درس داده بی توجه است. اینکه فصل نسبت کتاب بچه ها را برای درک این جمله که «نسبت محیط هر دایره به قطر آن تقریبا ۳/۱۴ است» یه طرف (در این مورد امیدوارم اگر سه پست قبلی در مورد نسبت را خوانده باشید، قانع شده باشید) اینکه قبل از این قسمت، یک مثال از تقسیم منجر به عدد اعشاری در کتاب نیست یه طرف، اینکه آیا آموزش بچه ها را برای پرش از اون خط قرمز ماقبل آخر به فرمول محیط دایره آماده کرده (که خیلی شک دارم چون این یه پرش جبری بزرگ است که بعدا در مورد آن خواهم نوشت)، این ها و خیلی چیزهای دیگه به کنار، کتاب حتی به آنچه آموزش هم داده توجه نکرده. هدف این نوشته اینه که نشون بده چه جوری می شد به درس های قبلی دانش آموزان توجه بشه

محیط دایره، داستانی که می توانست گفته شود  

با  یه چیزی شروع می کنم که شبیه شروع کتاب است

از اینجا به بعد کلا با اون یه پاراگراف کتاب فرق می کنه . پس لطفا قبل از ادامه ی خواندن حتما یه کمی با شکل بالا بازی کنید

حالا که بازی کردین، امیدوارم توجه کرده باشین که

محیط دایره بیشتر از سه برابر قطر دایره است، ولی

محیط دایره کمتر از چهار برابر قطر دایره است

یه نکته ی خیلی مهم این است که برای مشاهده ی این دو جمله نیاز ندارین بدونین محیط دایره چقدر است. به عبارتی نیاز به اینکه اون را اندازه بگیرین ندارین. کافی است اون را با قطر مقایسه کنید و مشاهده کنید که هر بار سه تا از قطر روی محیط قرار می گیره ولی محیط همیشه یه کمی بیشتر است

دوم اینکه توجه کنید که برای بیان این مشاهدات، زبان طبیعی ضرب است نه تقسیم

حالا با همین اطلاعات، اگر نسبت را درست یادگرفته باشیم می تونیم جدول نسبت ها را بکشیم. من برای راحتی فقط اعداد یک ، دو ، سه و چهار را برای قطر در جدول قرار می دم. چون همین ها منظور را خواهند رساند

در این مرحله اصلا لازم نیست که بدونیم بعد از اعشارها در ستون دوم چی قرار می گیره. ولی قدم اصلی این است که به این به شکل یه جدول تناسب نگاه کنیم. در این صورت اگر کسر نوعی نسبت است را خوانده باشید می دانید که آن ستون قرمز مهم ترین ستون است. چون اگر آن را بدانیم باقی ستون ها را می توانیم کامل کنیم

برای راحتی، به اون عدد سه و خورده ای در ستون قرمز یه اسم می دم، مثلا «پی»، حالا مثلا اگه بخوام بدونم در ستونی که سطر بالای آن عدد سه نوشته شده است، چه عددی در سطر پایین قرار می گیرد، کافی است سه را در عدد پی ضرب کنم. و به همین ترتیب برای هر ستون دیگر

اما عدد ستون قرمز را چگونه بیابیم

آنچه می خواهیم محیط دایره ای به قطر یک است. برای یافتن آن خدایی نکرده ممکن است آنچه قبلا خوانده ایم به کار بیاید. مثلا این از کلاس سوم دبستان

یا این یکی از کلاس پنجم دبستان که دقیقا سوال قبل از آن سوالی است که من این نوشته را با آن شروع کردم

حالا کافی است از آیدا و آلاله بخواهیم که همان حرکت ها را روی دایره ای به قطر یک بزنند. حتی خیلی هیجان انگیزتر اینکه می تونیم با .جیوجبرا یه دایره به قطر یک درست کنیم و آن حرکت ها را روی آن بزنیم. لطفا حتما تعداد ضلع ها را زیاد و زیاد تر کنید تا ببینید چقدر باید جلو برید برای اینکه به سه ممیز چهارده برسین

 

آنچه که باید به خاطر بسپارید

عدد پی، محیط دایره ای است به قطر یک

عدد پی، در ستون نسبت ها قرار دارد و متناظر است به عدد یک و این یعنی عدد پی یک نسبت است

حالا چی

حالا اینکه اگر کتاب می نویسید، لطفا آن را هم بخوانید

Categories
Number Conception Persian Teaching Ideas

کسر نوعی نسبت است

چون زهره پندی قول داده که برای من یه کار پیدا کنه، فکر کردم امروز هم مرخصی بگیرم و به جاش از آبی که در پست قبلی گل آلود کردم یه کمی ماهی بگیریم

در پست قبلی نوشتم 

هر عدد در واقع یک نسبت است

از آن وقت که این رو نوشتم چندین پیغام دریافت کردم که آیا قرص هایم را به موقع خورده ام یا نه. برای اینکه پرسنده ها را از نگرانی در بیاورم در این پست نشان می دهم چگونه و به چه معنی کسر یک دوم، یک نسبت است

لطفا در شکل زیر به همه چی به شکل خط یا پاره خط نگاه کن و ضخامت ها را در نظر نگیر. یه خط سیاه دراز داریم. یه پاره خط قرمز، دو پاره خط آبی هم اندازه که با هم می شن اندازه ی پاره خط قرمز

نسبت طول پاره خط   قرمز به آبی چیست؟ \[1:2\] 

این یعنی اینکه اگر پاره خط قرمز را دو برابر کنیم به چهار پاره خط آبی برای پوشاندن آن احتیاج داریم. با زبان نسبت می نویسیم \[2:4\]

دو جور می توانیم این را روی شکل نمایش دهیم. یکی اینکه همه چیز را نمایش بدیم مثل شکل زیر

یکی اینکه فقط جای نقط ها را معلوم کنیم مثل شکل زیر

هر کدوم از این شکل ها به یه ستون جدول زیر مربوط می شن

چون می دونیم همه ی ستون ها با اون ستون زرد رنگ متناسب هستند می تونیم همه ی خونه ها و ستون های خالی جدول را راحت پر کنیم. یکی از این ستون ها به خصوص اهمیت زیادی داره و با باقی ستون ها فرق می کنه. اون ستونی که در سمت چپ ستون زرد رنگ قرار داره. من هر عددی در یکی از خانه های اون ستون قرار بدم، شما می تونین عدد اون یکی خانه را پیدا کنید. اگه در خانه ی پایین یک قرار بدم، در خانه ی بالا چه عددی قرار می گیره؟ یادتون باشه این ستون با ستون زرد رنگ متناسب است. پس هر بلای ضرب و تقسیمی ای که سر یکی از اعداد اومده باید سر اون یکی هم بیاد. اگه عدد پایینی ستون زرد تقسیم بر دو شده، پس عدد بالایی اون هم باید تقسیم بر دو بشه

حالا می تونیم اون را به زبان نسبت بنویسیم \[\frac{1}{2}: 1\]

ولی نکته ی مهم و خیلی مهم و خیلی خیلی مهم این است که این نسبت را درست بخوانیم. اجازه بدین یه کمی از اون ور تر شروع به خواندن کنیم که همه چی طبیعی تر بشه

چهار طول آبی، دو طول قرمز است

دو طول آبی، یک طول قرمز است

یک طول آبی، یک دوم طول قرمز است

حالا سعی می کنیم یه شکل مثل اون شکلی که برای «چهار طول آبی یک طول قرمز است» برای این حالت هم بکشیم

این شکل خوبه ها. فقط یه مشکل اساسی داره. اگر یه نفر به اون نگاه کنه نمی فهمه ما داشتیم نسبت چی به چی رو حساب می کردیم. راستش خودمون هم اگه دو ساعت دیگه به اون نگاه کنیم نمی فهمیم. برای حال این مشکل، دو انتهای پاره خط قرمز اولیه مون رو مشخص می کنیم. برای این کار فقط به دو تا نقطه احتیاج داریم و شکل مون می شه این

بعد یهو یه جرقه ی ذهنی می زنیم و می گیم حالا که پاره خط آبی را داریم از همان جایی شروع می کنیم که پاره خط قرمز را شروع کردیم پس یه ور اون معلوم است کجاست. اون یک ور رو هم که به یک دوم قرمز می تونیم معلوم کنیم. پس اصلا چه کاری است از دو رنگ استفاده کنیم. همه چیز را به یک رنگ نشان می دیم و شکل مون می شه این

ولی این شکل هنوز یه چیزی کم داره و اینکه به ما یاد آوری نمی کنه کدوم نقطه ها اول و آخر پاره خط  قرمزی هستند که باهاش شروع کردیم. راستش می تونیم اول و آخر رو هر جوری که بخواهیم معلوم کنیم. مثلا یه کتانی پاره بگذاریم روی یه سر پاره خط و یه کیف مدرسه روی اون یکی سر. اینطوری شاید بتونیم گل کوچیک بازی کنیم ولی یه جنبه ی خیلی مهم ماجرا رو در نظر نگرفتیم. اینکه همه ماجرا از اون ستون زرد رنگ جدول نسب ها شروع شد. اینکه در اون ستون می تونیم عدد یک را نگه داریم و یه پاره خط سبز رنگ بکشیم که سه طول از  آن، یک طول قرمز است. و باقی ماجرا. خلاصه اینکه  برای تثبیت و احترام به اهمیت یک در آن ستون زرد رنگ و برای نشان دادن یک طول قرمز، اول پاره خط را صفر می گذاریم و آخر آن یک

حالا برای اینکه بگیم پاره خط آبی کجاست کافی است بگیم انتهای آن کجاست. و برای اینکه بگیم انتهای آن کجاست کافی است به ستون سمت چپ ستون زرد رنگ نگاه کنیم و عدد سطر اول اون ستون را زیر این نقطه یا بالای آن بنویسیم

و بدین گونه خط اعداد حقیقی یواش یواش درست شد

 ولی سیب و انار هنوز خوب نیستند

در پست قبل دیدیم چرا موقعیت گسسته مناسب کسر نویسی نیستند. دوباره به آن نگاه کنیم

نسبت انارها به سیب ها 6 به 3 است

این جدول همان جدولی است که برای طول پاره خط قرمز و طول پاره خط آبی کشیدیم. در آنجا عدد یک در خانه ی زرد رنگ مبنای مقایسه را تعیین می کرد. ولی اینجا کل ستون است که اهمیت پیدا می کنه. یادتونه گفتم در موقعیت های گسسته یه نسبت به تنهایی معنی نداره و در تناسب معنی پیدا می کنه  .  اینجا دقیقا خودش رو بروز می ده. وقتی به ستون زرد رنگ نگاه می کنی به تو می گه یه انار داری و دوتا سیب ولی علاوه بر این دو می دونی همین نسبت همه جای دیگه هم برقراره. یعنی

در هر ستون تعداد سیب ها دو برابر تعداد انار هاست

  حالا بریم به ستون کسر، ستون سمت چپ ستون زرد

در موقعیت پیوسته (پاره خط ها) این ستون به تنهایی معنی داشت و معنی آن این بود که طول پاره خط آبی یک دوم طول پاره خط قرمز بود. اما در موقیعت گسسته این ستون به تنهایی معنی نداره. نمی تونی بگی  یک سیب ، یک دوم انار است (توجه کن اینجا یه انار نقش واحد را بازی نمی کند که تعداد میوه های دیگر را با آن بسنجی.) ولی این ستون برای ستون های دیگر اطلاعات می دهد. اینکه هر چی اینجا برقرار است در ستون های دیگر هم برقرار است. یعنی 

در هر ستون تعداد  انارها یک دوم تعداد سیب هاست  

گسسته در خدمت پیوسته ولی نه برعکس

به نظرم بهترین راه برای اینکه ببینی در هر مورد کسری که با یه نسبت می نویسی چه معنی ای می ده اینه که جدول نسبت ها را بکشی و به دو تا ستون سمت چپ اون توجه کنی. در موقعیت پیوسته هم می تونی ستون ها را به تنهایی تعبیر کنی و هم از اون ها در باره ی ستون های دیگه اطلاعات بگیری. اما در موقیعت های گسسته از ستون ها می تونی فقط برای اطلاعات گرفتن در مورد ستون های دیگه استفاده کنی

حالا چی

حالا اینکه اگه یه دانش آموزی با گذشتن از کلاس پنجم نسبت رو فهمید خداییش باید بهش مدال فیلدز بدن. بعدش هم از این فرصت استفاده کنم و بپرسم آیا واقعا، خدا وکیلی، از دل اون «فعالیت» های کتاب های درسی چیزی می تونه در بیاد

پی نوشت. می بخشید اعداد فارسی نیستند. معمولا اعداد را می نویسم و بعد فارسی می کنم. در این مورد حواسم نبود که اعداد داخل جداول هم هستند و چون عکس بودند کاری نمی توانستم بکنم به جز اینکه برگردم و همه ی جدول هایی که درست کرده بودم را دوباره درست کنم. دیدم بهتر است همانگونه رهایشان کنم  

Categories
Number Conception Persian Teaching Ideas Textbook

درسی در نسبت

اگر چه شما این را در وبسایت من می خوانید باید بگویم که زهره پندی همانقدر در آن شریک است که من. او با «سفارش» ساختن فیلمی در مورد کسر کل این ماجرا را شروع کرد و هی کامنت هایش جنبه های بسیاری از «نسبت» را برای من روش کرد یا اینکه من را وادار به فکر کردن به آن جنبه ها کرد

حالا نسبت

قبل از هر چیز، چگونه نباید آن را شروع کرد: به سبک کتاب پنجم دبستان 

در این شروع دو مشکل اساسی نهفته است

مشکل اول: استفاده از نمایش کسر برای نسبت. در مورد این در پست قبلی نوشتم

مشکل دوم: استفاده از نسبت هیچ اطلاعاتی نمی دهد. این نیاز به توضیح دارد

 به شکل بالا نگاه کنید. کدام آدم عاقلی است که به جای اینکه تعداد میوه ها را بگوید، که سه انار داریم و سه پرتقال، به نسبت تعداد انارها به پرتغال ها فکر کند. این وقتی لازم است که مثلا بگوییم که داریم برای یه جشن عروسی پرتقال و انار می خریم به نسبت برابر (من که تا حالا در یه چنین جشن عروسی که تعداد پرتقال ها وانارها برابر باشه نبودم. راستش اصلا یادم نمی آد در یک جشن عروسی انار خورده باشم!) از عروسی برگردیم

 خلاصه اینکه در بیشتر موقعیت های قابل شمارش (گسسته)، نسبت فقط با تناسب معنی داره. یعنی اینکه نسبت داره یه اطلاعاتی در مورد یه نسبت دیگه به ما می ده (برای همین است که فیلم «کسری برای نسبت» با یه عالمه توپ های رنگی رنگی شروع می شه».)  مثلا نسبت پرتقال ها و انار ها درشکل بالا در مورد نسبت پرتقال ها و انارها در عروسی ای که نه من رفتم و نه شما

در مورد موقعیت های پیوسته، یه کمی تناسب مورد استفاده مخفی تر است. مثلا به «فعالیت» زیر نگاه کن   

اگر به جای اینکه شکل را حاظر و آماده  و داشتی، فقط یه مستطیل داشتی و ازت خواسته شده بود اون رو جوری رنگ کنی که مساحت قسمت رنگ شده به قسمت رنگ نشده ۳ به ۵ باشه، اونوقت ممکن بود ابتکار بزنی و شکل زیر را بکشی

به نظر می رسه، در موقعیت های پیوسته ، نسبت در مورد یک تک موقیعت داره اطلاعات خوبی می ده. ولی حواسمون باشه که در واقع اون تک موقیعت هزار جور مختلف می تونه اون تک نسبت رو نمایش بده. البته  خیلی اوقات هم اون تک موقعیت فقط یه جور امکان دیده شدن داره ولی در این صورت اعداد مورد استفاده در نسبت نقش  شمارشی ندارند . مثلا برای درست کردن شیرینی نخودچی آرد نخودچی و کره و شکر به نسبت ۲ به ۱ به ۱ استفاده می شه. برخلاف مثال سیب و انار و پرتقال، اینجا نمی تونی دو تا آرد نخودچی کنار بگذاری، ۱ دونه کره و ۱ دونه شکر و از بچه بپرسی خوب حالا نسبت آرد نخودچی به کره رو بنویس 

حالا شروع کردیم بعدش چی

راستش شروع یه جورهایی بعدش رو هم تعیین می کنه. مهم ترین نکته این است که توجه کنیم که نسبت قرار است برای منظوری مفید باشد. مثلا اگر دو تا توپ آبی داریم و سه تا قرمز، خوب می گیم دو تا آبی داریم و سه تا قرمز. ولی اگه یه عالمه توپ آبی و قرمز داریم اینکه بدونیم نسبت آبی ها به قرمزها چقدر است مفید است. ولی هر اطلاعاتی که می تونیم از دانستن نسبت آبی ها به قرمز ها بدست بیاوریم، می تونیم از دونستن اینکه چه کسری از توپ ها آبی (یا قرمز) است هم به دست بیاوریم. می تونیم از اینکه چه درصدی از توپ ها آبی (یا قرمز) است هم به دست  بیاوریم. می توانیم از دانستن احتمال کشیدن یه توپ آبی(یا قرمز) از سبد هم به دست بیاوریم. مهم این است که در بعضی موقیعت ها یکی از بیان  ها راحت تر فکر را همراهی می کند. مثلا اگه به موقعیت شیرینی نخودچی با زبان کسرها فکر کنی عمرا بتونی شیرینی را درست کنی. و اینکه اگر چه همه ی اعداد را می شود از یک بیان به بیان دیگر تبدیل کرد، بعضی از آنها در موقیعت مورد استفاده اصلا معنی ندارند. مثلا سعی کن به این فکر کنی که احتمال شکر در شیرینی نخودچی ۱ به ۵ است!!ا

      چه وقتی نسبت رو می شه با یک عدد نشان داد

اینجا دوباره به زهره پندی برمی گردیم که نوشت

به نظرم باید یه چیزی گفته بشه درباره این که نسبت رو میشه با یه عدد نشون داد .مثلا نسبت مسافت به زمان وقتی سرعت ثابته با یه عدد مثلا ۶۰ و یه واحد مثلا کیلومتر بر ساعت بازنمایی میشه

 راستش نسبت ها فقط به نظر می رسن بعضی وقت ها با یه عدد نشون داده می شن چون همیشه یه عدد دیگه هم اون ها رو همراهی می کنه. مثلا مثال مسافت به زمان رو در نظر بگیرین. فرض کنید یک خودرو مسافت ۲۴۰ کیلومتر را در ۴ساعت طی می کند. نسبت مسافت به زمان به شکل زیر است

\[۲۴۰:۴\]

که این همان 

\[۱۸۰:۳\]

که این همان

\[۱۲۰:۲\]

که این همان

\[۶۰:۱\]

است 

 در این حالت مرسوم است یک را نگوییم و به جای گفتن اینکه نسبت مسافت به زمان ۶۰ به ۱ است بگوییم سرعت ۶۰ کیلومتر بر ساعت است. ولی اینکه دوباره این کار همه جا به این خوبی جواب نمی دهد

وقتی شیطان گول مان می زند  

 به مثال سیب و پرتقال برگردیم.نسبت سیب ها به پرتقال ها ۵ به ۳ است و ما داریم هی حساب کتاب می کنیم چند تا سیب و چند تا پرتقال برای عروسی بخریم (می دانم معمولا نمی شماریم و می کشیم. حالا یه لحظه کوتاه بیاین). از آنجا که عروسی است و هی یه سری فامیل قهر می کنند و نمی آیند و یک سری فامیل هم که اصلا تا الان نمی دانستیم فامیل اند هی اضافه می شوند هی اعداد ما تغییر می کنند. طبق آخرین اطلاعات رسیده از خانواده ی دو طرف می دونیم بالاخره یکی از شرایط زیر را داریم

\[۱۰۰:۶۰\]

\[۱۵۰:۹۰\]  

\[۵۰۰:۳۰۰\]

 از آنجا که ما ریاضی مان خوب است و جیب مان خالی. به جای اینکه هی ۵ و ۳ را در یک عدد ضرب کنیم، آرزو می کردیم که آنها را بر یه عدد تقسیم می کردیم 

\[۵:۳\]

به سبک سرعت، هر دو را بر ۳ تقسیم می کنیم و به دست می آوریم

\[\frac{۵}{۳}:۱\]

و آرزو می کردیم که به همین اندازه میوه لازم داشتیم  که می شد فقط برای خودمان و همسرمان

حالا از خودمان می پرسیم این کسر پنج سوم چی را نشان می دهد. ریاضی وار می توانیم از آن شروع کنیم و برگردیم به همه ی نسبت های دیگه. ولی در این موقعیت عروسی معنی آن چیست؟ فرض کن می ری میوه فروش محل و می گی من برای هر یه دانه پرتقال، پنج سوم سیب می خوام. لطفا اگه سالم بیرون برگشتی یه کامنت زیر این پست بگذار 

حالا چی

حالا اینکه اگه حوصله کردی و این پست رو تا اینجا خوندی شایسته ی اینی که یک چایی قند پهلو بنوشی و از دیدن فیلم «کسری برای نسبت» لذت ببری

Categories
Opinions Teaching Ideas

داستان حذف انتگرال، داستان یک نظام آموزشی

در نوشته قبلی مشاهده کردیم که چگونه انتگرال بدون توجه به یازده سال و چند ماه آموزش قبلی دانش آموزان حذف شده است. در این نوشته مشاهده خواهیم کرد که چرا نباید در نظام آموزش (ریاضی) ایران از این موضوع تعجب کرد

با یک سوال شروع می کنم. یه منحنی بکشین که در نقطه ی الف به خط زیر مماس باشه

حالا به این سوال فکر کنید: یه خط بکشین که در نقطه ی الف به منحنی زیر مماس باشه

وقتی به سوال اول فکر می کردین، داشتین انتگرال رو تجربه می کردین و وقتی به سوال دوم فکر می کردین مشتق رو. حالا از خودتون بپرسین چه جوری می شه این دو تا مفهموم رو از هم جدا نگه داشت. اگه براتون سخته این کار رو بکنین برین یه نگاه به کتاب های درسی بندازین یادبگیرین چه جوری!! اگه حوصله اش رو یا وقتش رو ندارین، خلاصه  ی چه جوری این است

سوال دوم رو مطرح کنین و هی بهش از زاویه های مختلف گیر بدین و هی بهش فرمول اضافه کنین و فیه خالدون اون رو در بیارین تا اینکه اون دانش آموز بیچاره کلا یادش بره اصلا اون سوال اول رو بپرسه.  یا بهتر و درست تر اینکه بگیم، اصلا نتونه چنین سوالی رو متصور بشه

حالا چی  

حالا اینکه من می خوام به طور کمدی تلخ واری از حذف انتگرال دفاع کنم!! وقتی هیچی به هیچی وصل نیست چه فرقی می کنه یکی از اون ها حذف شه. اصلا به نظر من فصل اول کتاب (تبدیل نمودار توابع) هم باید حذف بشه. تنها خاصیتی که اون می تونست داشته باشه  این بود که بعدا وقتی داره فیه خالدون مشتق در می آد بهش ارجاع داده بشه تا برای یه سری از خاصیت ها اونجا یه شهودی ایجاد بشه. حالا که ارجاع داده نشده، اصلا چرا اونجا باشه. اینطوری کلی جا برای سبک زندگی باز می شه. فقط تو رو خدا یادتون نره که زندگی یه جریان پیوسته است و گسسته درس دادن اون دانش آموزان را برای هیچی آماده نمی کنه   

Categories
Assessments Conceptual Understanding English Teaching Ideas

i Cycle

Where is \(i^{127}\)? 

If you have read i Cycle, the Sum of Powers, you have already experienced the powers of i, and their hidden cycle. This is a much basic problem and in fact, it is a prerequisite for understanding i Cycle, the Sum of Powers and everything else about complex numbers (okay, it is a bit exaggeration to say so, but you got the point, it is very important).

What is the problem here? 

Notice that I could ask the “same” problem just using a different power. For example, I could ask: Where is \(i^{39}\)?  You see, the problem here is not about finding this or that power of \(i\), it is about finding the pattern governing these powers. 

The fundamental power in this case is two, as it is the power used in the definition of \(i\): \[i^2=-1\].

Furthermore, So if our question was Where is  \(i^2\), we knew the answer is C. From, this starting point, we can see \(i^3=i^2*i=-i\) is the point D, \(i^4=i^2*i^2=1\) is on the point A, \(i^5=i^4*i=i\) is on the point B, and \(i^6=i^4*i^2=-1\) is on the point C, that happens to be the point we started our 90 degrees anticlockwise journey. 

It doesn’t matter where we start our rotation. But, maybe, the point A is the most natural starting point. Starting from A, the powers are: 

\[i^0, i^1, i^2, i^3, i^4, i^5, …\]

They look different from each other, but we know that there are only four fundamentally different number, as the above sequence is in fact the following sequence: 

 \[1, i, -1, -i, 1, i, -1, -i, …\]

So, to find the answer to our original question, we only need to put aside the fours that goes into 127 and see what remains. 

 

 

 

Starting from the point A, has another interesting advantage. It gives meaning the the very definition of \(i\). Think of \(i\) as \(i \times 1\). You might say, okay so what, isn’t it obvious that \(i \times 1=i\). Yes, but, notice that the left side is the process of multiplication and the right side is the result of the process. In this case, the process has an important interpretation, that is rotating 90 degrees anticlockwise. That is to say, when we multiply the point A (that happens to be \((1,0)\)) by \(i\) it goes to the point B, and likewise, when we multiply the point B by \(i\), it goes to the point C. In other words, \(i\times i\times 1=-1\). 

Voila: \[i^2=-1\]    

Categories
Books Persian Teaching Ideas

سیصد و شصت و پنج مساله

سالها پیش، وقتی که معلم بودم، کتابی منتشر شد با عنوان «‫۳۶۵ م‍س‍ئ‍ل‍ه‌ ب‍رای‌ ۳۶۵ روز» که بنابر شناسنامه ی کتاب، برگرفته  از «مجله شورای ملی معلمین ریاضی آمریکا» بود. فکر نمی کنم گفته بود کدام مجله ولی به هر حال اونقدر م‍س‍اله‌ های جمع آوری شده خوب بودند که خیلی فوری شدند م‍س‍ئ‍ل‍ه‌ های کلاس درس من. تو این سالها از خیلی از آنها بارها و بارها استفاده کردم تا جایی که اصلا یادم رفته بود که منبع آنها چیست. تا اینکه گروهی در تارنمای «دوست ریاضی من» شروع کرد به اشتراک گذاری م‍س‍ئ‍ل‍ه‌ های اون کتاب و من هنوز هم بعد از بیشتر از بیست سال عاشق اون ها. ولی این بار هر مساله ای رو فقط به شکل یه مساله که قرار است در  کلاس استفاده کنم نگاه نمی کردم. به طور طبیعی آنها را از دریچه ی دانش و تجربه ی این بیست سال و اندی نگاه می کردم. اینطوری شد که در گروه به جای اینکه م‍س‍ئ‍ل‍ه‌ ها رو حل کنم می نوشتم چرا آنها خوب اند و از هر یک چگونه می توان استفاده کرد یا اینکه با هر یک چه می توان کرد. خلاصه اینکه این نوشته ها یواش یواش برای خودشون شدن یه مجموعه. به همین دلیل تصمیم گرفتم به تدریج با یک کمی توضیح اضافی و تکمیلی آنها را در اینجا باز نشر کنم. همین الان هم اگه خواستین می تونین یه حسی از اونها در «دوست ریاضی من» بگیرید.ا 

Categories
English Number Theory Research Starter Teaching Ideas

Read Euler, Read Euler!

Read Euler, read Euler, he is the master of us all” written by Robin Wilson or “Euler: the master of us all” written by William Dunham are to show us how great and multifaceted Euler was as a mathematician. Indeed, he was. In this post, I want to write how great he was as an educator.

Today was my first session of a course in number theory. I had to start with “sums of two squares“.  Like most other things in introductory number theory, this one also starts with a very simple observation. Some numbers like 5 ( \( 2^2+1^2 \) ) can be written as a sum of two squares, and some like 7 cannot be written as such.   The natural question is which number is which. The students I had to work with had studied some number theory in the previous semester, but not primitive roots and quadratic residues, and of course, not the Gaussian integers. Basically, they hadn’t got the tools that are usually used to study (i.e., to prove useful facts about) the problem of our interest. Fortunately, Euler was there with two amazingly exploratory and yet rigorous enough pieces of work (as ever) on the subject: first work published in 1758, “On numbers which are the sum of two squares“, and the second work published in 1760, “Proof of Fermat’s theorem that every prime number of the form  \(4n+1\) is the sum of two squares“.  The two works are lengthy by today’s standard where using the “right” tools, there is even  “a one-sentence proof” (due to Zagier) for what Euler proves in the first 12 pages of  the first paper (its English version is 24 pages) plus the second paper (that is 11 pages). You can re-write all those 23 pages in just one page, calling it  Euler’s proof by infinite descent. By doing so, you would have a nice and presentable proof of Fermat’s theorem (for an elementary number theory course as mine).  However, you would miss most of the mathematical insights that your students (that mathematically might be as naïve as mine) could gain from the original text. A simple example of such insights is the mere fact that Euler calls his first argument (given in 1758) “Attempt at a Proof” not “A Proof”. This distinction would be just one of the lessons for your students. There would be many of such lessons as I try to convince you now. First, a few words about my plan is in order since it is quite related to what we might get from Euler.

The first step was to ask the students to list “those numbers which arise from the sums of two squares” (Paper I), say up to 50 (Euler himself listed them up to 200 without any use of calculators, mobiles, computers and so on!). The next step was to let them see and come up with any general statement that might be true for all such numbers, or for the numbers which cannot be written as the sum of two squares. I believed whatever they come up with could be found somewhere in Euler’s texts, perhaps not the exact things, but for sure, something quite related. Thus, after examining the statements found in the class, I could direct them to the Euler’s text where he addresses the same statement or something similar. It was the plan and it went better than I expected.

The first observation* was that powers of 2 can be written as a sum of two squares:

\( 2=1^2+1^2, 4=2^2+0^2, 8=2^2+2^2, 16=4^2+0^2, … \)

We called our first observation Theorem 1.

Theorem 1: Any power of two can be written as a sum of two squares.

The students had some experience in “university mathematics”, but most of them felt no need to prove our first theorem since it was true for all the examples on the blackboard! Here again, Euler comes in rescue, saying “in this class (dissertation) of many such statements (propositions), which until now have been accepted without proofs, we (I) will furnish proofs of their truth” (Paper I).  Thus, I asked students to prove Theorem 1. To my surprise, they chose to prove it by mathematical induction (perhaps, because they had a lot of such proofs in the first semester). This is the way they did it:

Base: \( 2=1^2+1^2 \)

Assume that \( 2^k \) can be written as a sum of two squares.

\( 2^(k+1)=2. 2^k \) . Thus,\( 2^(k+1) \)can be written as a sum of two squares.

It was not easy for students to see why the product (here, \( 2^(k+1) \) does not automatically inherit the property of its factors (here, the factors are 2 and \( 2^k \) and the property is being a sum of two squares). Again Euler has something to say about this inheriting phenomenon. For example, a number that is a sum of two squares but neither of its factors is a sum of two squares. I used a silly example, giving that 3 and 5 are prime numbers (the property here is being a prime) but their product is not a prime number! This discussion put forward three options:

(i) Ignore proving Theorem 1 (that indeed wasn’t an option)

(ii) Choose a different direction to prove it.

(iii) Amend our failed proof.

The students chose the last option and this brought us to our next theorem.

Theorem 2: If \( m \) and \( n \) are two numbers, each of which is the sum of two squares, then their product \( mn\) will also be the sum of two squares.

Interesting, Euler suggests a number of simpler propositions that are special cases of Theorem 2 before giving the general form, because by it (special cases) this (the general case) will be more easily observed (Paper I).  In fact, one of his lemmas (special cases) was enough to complete our proof by induction: If a number \( m \) is a sum of two squares, then so will be \( 2m \). However, we decided to proceed by proving the general case. Then, in addition to correcting our mathematical induction, we wrote 65 and 1105 (both suggested by Euler) as sums of two squares, using our proof of Theorem 2.

Euler has it all. He plays with examples, draw conclusions, warn you not to rely on them, seek proofs, guess when you might think wrong or overgeneralize, discuss them, give counterexamples and so on.

I haven’t yet distributed his papers in the class. This post was just about the first session. I’ll complete this story.

*Euler himself considered the square numbers first.

 

Categories
Algebra English Teaching Ideas

Structure, Structure, Structure!

Look at this equality:

\( (a + b) + c = a + (b + c) \) , or this one:

\( a . (b + c) = a.b + a.c \)

They are true structurally. In principle, You can just replace one side of the equality with the other side without any extra comment. However, we usually like to describe these in terms of processes. For the first equality, we might say that adding the first two and then the sum to the third is the same as adding the first to the sum of the last two. For the second equality, we might say that from left to right it is multiplying through a set of parentheses, and from  right to left, it is factoring  something out. The italics are in the language of processes. Thus, when does the structure matter? Here is a strange example that I observed when teaching differential equations.

There is a technique in which you multiply both sides of a first order equation by something called “integrating factor”. The point is to write one side of the equation as the derivative of a function. For that, you need the product rule for derivatives: The derivative of a product of two functions is the derivative of the first times the second, plus the derivative of the second times the first. In symbols,  we can write the product rule as \( (fg)’=f’g+g’f \) or many other ways. When moving from left to right we are doing something, we find the derivative, we multiply, we add. However, it seems that when moving from right to left, we are not doing anything. We just replace \( f’g+g’f \) with \( (fg)’ \) . Indeed, the mere fact that we can just replace the right side of the product rule with the left side was quite unacceptable for one of the best students of my class (hence he couldn’t see the logic behind the integrating factor). I would like to see more examples in which understanding structure really matter.