تقریب و تخمین و تخریب

قبل از هر چیز بگم که «تخریب» در عنوان هیچ ربطی به موضوع نداره به جز اینکه در جلسه «باهم» هی به جای تقریب و تخمین می گفتم تقریب و تخریب. حالا که خیالتون راحت شد، حتما میپرسین جلسه «باهم» دیگه کجای پیازه؟

جلسه های «باهم» یه دورهمی معلم های ریاضی است که الان حدود یکی دو سال است که بعضی موقع ها هر دوشنبه و دیگه اگه نشد هر دوشنبه در میان به طور آنلاین برگزار می شود و من هم این شانس را داشتم ام که از آن خبردار باشم و نخود آش باشم. جلسه آخر که با هم داشتیم همین دوشنبه گذشته بود و ارائه دهنده های آن به ترتیب حروف الفبا هوشمند حسن نیا، سمیه شعبانی، اطهر فیروزیان، و نگار وکیلی بودند (البته سمیه اگر چه در تهیه مطالب نقش داشت، موقع ارائه رفته بود گل بچینه.) موضوع ارائه هم اگر هنوز تابلو نیست، تقریب و تخمین بود

ارائه مثل بیشتر باهم ها ترکیب بانمک و مفیدی از خوانده ها و تجربه ها بود و طبق معمول برای باقالی های شنونده کلی یادگیری به همراه داشت. در این جلسه خاص، آنقدر میزان یادگیری من بالا بود و آنقدر لحظه های آهان داشتم که یه جورهایی باید با نوشتن مغزم را تخلیه می کردم که بتونم برم به باقی زندگی برسم. در نوشته زیر، یا دقیقا از مثال هایی که در خود ارایه دیدم استفاده می کنم و یا از ایده ی آن

پندیِ ادبیات

یه تفکیک در نگاه اول هیجان انگیز بین تقریب و تخمین هست که همه ی ما منتظر بودیم زهره پندی برامون توضیح بده تا بفهمیم.  «تقریب » به «قُرب» ربط داره و این یعنی نزدیکی. وقتی تقریب می زنیم یعنی داریم یه چیزی را به یک چیزی نزدیک به آن جایگزین می کنیم. حالا وقتی از تقریب زدن استفاده می کنیم برای اینکه یک محاسبه ای را انجام بدیم به اینکار می گن تخمین زدن. مثلا وقتی می خواهیم چهار را در بیست و نه ضرب کنیم، می توانیم بیست و نه را با سی جایگزین کنیم (تقریب) و بعد با انجام ضرب (که حالا) راحت تر شده تخمینی از مقدار واقعی ضرب بدست بیاریم. راستش خود من با وجود اینکه صد بار احتمالا این را دیده بودم (مثلا اینجا) باید اعتراف کنم فقط وقتی توسط باهمی ها از قول پندی نقل شد، تازه یهو وای-فایم جواب داد (مدرن شده دو زاریم افتاد) و گفتم «آهان». با وجود این، به نظر می رسه یه جورهایی فقط با استفاده از واژه «تقریب» هم زندگی راه می افته، چون مثلا در همین مثال که زدم می شه فکر کرد که ما داریم چهار ضربدر بیست و نه را با چهار ضربدر سی جایگزین می کنیم. ولی خب شاید بعضی موقع ها استفاده از زبان تخمین طبیعی تر و مرسوم تر باشه. از اینجا به بعد هم بحث ما تقریب است اگر چه هی وابسته به موقعیت، ممکن است از واژه های مختلف استفاده کنیم

تقریب های باربط

اگر دوست دارید انگلیسی بخوانید می توانید به همان سایت بالا نگاه کنید و اگر دوست دارید فارسی بخوانید می توانید نوشته های سپیده چمن آرا را در رشد آموزش ابتدایی (دوره بیست و دوم، شماره های ۳ و ۴ و ۵؛ سال ۱۳۹۷؛ با تشکر از نگار وکیلی برای معرفی اینها) بیابید و کلی توضیح خوب و مفید با مثال های فراوان در مورد تقریب ببینید. من همان مسیری را جلو می روم که باهمی ها جلو رفتند. یعنی به جای اینکه روی این تمرکز کنم که روش های مختلف تقریب زدن چیست، روی این تمرکز می کنم که یه دانش آموز چگونه باید بفهمد که در کجا چه تقریبی معنی دار است. مثلا به مثال زیر توجه کنید

۲\times ۴۹

دانش آموز کجا یاد می گیرد که در ۲ ضربدر ۴۹ خوب است ۴۹ را با ۵۰ جایگزین کند و ولی به دو دست نزند مثلا آنرا با صفر جایگزین نکند

راستش این سوال برای اولین بار موضوع تقریب را و جایگاه آنرا در درس ریاضی برای من پررنگ و مهم کرد. روم به دیوار من تا همین پریروز فکر می کردم این چیزها بیشتر جاش تو فیزیک است! ولی جواب به این سوال، آنقدر موضوع تقریب را به طور هیجان انگیزی به موضوع های مهمی مثل کسر و جبر و اصولا درک عدد ربط می دهد که هیچ جوری نمی شه از پتانسیل های آن برای تجربه ی این چیزها چشم پوشی کرد. مثلا به همین ۲ ضربدر ۴۹ ناقابل نگاه کنید. وقتی ۴۹ را با ۵۰ جایگزین می کنیم، با این یک واحد تغییر، جواب فقط دو واحد تغییر می کنه. ولی اگه ۲ را با یک جایگزین کنیم، با این یک واحد تغییر، جواب ۴۹ واحد تغییر می کنه. درک این ماجرا یعنی درک جبر

عمق جبری تقریب

کلا وقتی حرف تغییر در کار است یعنی دروازه های جبر باز است. تقریب یکی از جاهایی است که دانش آموز از اینکه جواب چیه جدا می شه و دعوت می شه به اینکه به تغییر فکر کنه. عمق جبری ماجرای تقریب اینجاست که جواب هم باید در تفکر دانش آموز باشه و هم نباشه، یه جور موجود سیال. علاوه بر این، بر خلاف عادت حسابی دانش آموز که تند و سریع و انقلابی باید ۲ ضربدر ۴۹ را انجام بده و آن را با حاصل ضرب جایگزین کنه، موقعی که تقریب می زنه باید به خود ۲ ضربدر ۴۹ ، مثل حاصل نگاه کنه و نباید به اون دست بزنه. حالا سوال اینجاست که این کار به چه دردی می خوره در دبستان. یکی از مهمترین جاها که این می تونه به کار بیاد، دادن یه تجربه از کسر است قبل از اینکه بچه ها حتی اسم کسر به گوششان خورده باشه. مثلا به مثال زیر نگاه کنید (این مثال دقیقا در باهم استفاده شده و جایی بود که من عاشق شدم)

۳۰۲\div۳

می شه این رو با تقسیم زیر تقریب زد

۳۰۰\div۳

یا با تقسیم زیر تقریب زد

۳۰۲\div۲

می فهمم (با اجازه از هوشمند که بیشتر جمله هاش را اینطوری شروع می کنه) که اولی چون در قدم بعدی خیلی راحت محاسبه می شه، تقریب سریع تر و راحت تری است. ولی سوال اینجاست که آیا به درد بخور تر هم هست؟ چند جور می شه به این ماجرا نگاه کرد که هر کدوم مفید و جالب است

نگاه اول. وقتی ۳۰۲ را با ۳۰۰ جایگزین می کنیم، به نظر دو واحد تغییر داریم. ولی چیزی که مهم است، تغییرات ضربی است و نه جمعی. یعنی درست که ۳۰۰ ، دو تا از ۳۰۲ کمتر است، ولی چیزی که مهم است این است که ۳۰۰ با تقریب خیلی خوبی همان یک برابر ۳۰۲ است. که این مثل این است که ما در محاسبه ۳۰۲:۳ داریم هر دو عدد را در یک (تقریبا) ضرب می کنیم و در نتیجه حاصل خیلی فرق نمی کنه

اما وقتی در تقسیم ۳۰۲ بر ۳، به جای سه از دو استفاده می کنیم. درسته عدد سه فقط یک واحد از عدد دو بیشتر است، ولی به طور ضربی عدد سه، یک و نیم برابر عدد دو است و جایگزین کردن یکی با دیگری خیلی تغییر در جواب تقسیم ۳۰۲:۳ ایجاد می کنه

نگاه دوم (که شاید برای خیلی از بچه ها دم دستی تر از نگاه اول باشد). خیلی فرقی نمی کنه ۳۰۰ تا چیز را بین سه نفر تقسیم کنیم به جای اینکه ۳۰۲ تا چیز را بین آنها تقسیم کنید. هر کدام تقریبا سهم خود را بدست می آورند.  اما خیلی فرق می کنه که ۳۰۲ تا را بین سه نفر تقسیم کنیم یا بین دو نفر. اگه بین دو نفر تقیسم کنیم، هر کدامشان خیلی خوشحال تر خواهند بود

حالا کسر کجای این ماجرا است؟ راستش در مرکز آن و اطراف آن و پوست پیاز آن. نکته مهم ماجرا این است که ما داریم به ۳۰۲:۳ یه موجودیتی می دیم بدون آنکه آنرا حساب کنیم و این دقیقا آن قدمی است که بچه ها برای درک کسر باید بردارند. علاوه بر این، در نگاه اول، بچه ها، ماهیت ضربی ماجرا را تجربه می کنند و این به تساوی کسرها پیوند می خورد. علاوه بر این، خود این سوال که با یه واحد (جمعی) تغییر، چه قدر تغییر ضربی داریم، خود به خود دارای اهمیت است و شاید کمکی باشد برای طراحی فعالیت ها یا توضیحات خوب

وقتی ریاضیات بالاتر از دبستان به کار دبستان می آید

دیدین وقتی یهو ریشترِ زلزله یه واحد بیشتر می شه، قدرت خود زلزله یهو خیلی داغون کننده تر می شه. یا وقتی شماره ی روی شماره خوان صدای ضبط را فقط یه دانه بیشتر می کنید، صدا یهو خیلی بیشتر می شه. همه ی اینها مثال هایی هستند که به نظر می رسه ما داریم یه تغییر جمعی می دیم ولی در واقع آنچه اتفاق می افته یه تغییر ضربی است. مثلا در مورد زلزله، اضافه شدن یک ریشتر یعنی ده برابر قدرت زلزله. به طور رسمی اینها به مبحث لگاریتم مربوط است که از ریاضیات دبستان بالاتر است. ولی تجربه اینکه یه تغییر جمعی کوچک می تونه به یک تغییر ضربی بزرگ منجر بشه، یه چیزی است که در دبستان هم می شه تجربه بشه، مثلا اونجایی که داریم ۳۰۲:۳ را تقریب می زنیم