Categories
Number Conception School Maths Textbook درک عدد

۱۲۳-۳

Categories
School Maths

۱۲۳-۲

Categories
Number Conception School Maths Textbook

ضرب عدد در ۱۰

 دریکی از فعالیت‌‌نماهای کتاب سوم بعد از چند مثال در مایه‌های

\(۲۰\times ۳۰\)

 از دانش‌آموزان خواسته می‌شود که به سوال زیر جواب بدهند

بین تعداد صفرهای دو عدد و تعداد صفرهای حاصل‌ضرب چه رابطه‌ای وجود دارد؟‌

اتصال دادن ضرب در ۱۰ به تعداد صفرها اشتباه اندر اشتباه است

فرض کنید دانش‌آموز از این فعالیت‌نما این نتیجه را بگیرد که تعداد صفرهای حاصل ضرب برابر است با مجموع تعداد صفرهای دو عدد. که با توجه به مثال‌های کتاب درسی این تنها نتیجه‌ی محتمل است و در ضمن پرضرر ترین چرا که همه ‌ی شرایط زیر امکان پذیرند که با این نتیجه در تضاد هستند

دو عدد صفر ندارند ولی حاصل ضرب صفر دارد

دو عدد صفر دارند ولی حاصل ضرب صفر ندارد

علاوه بر اینها کمی بعد‌تر که دانش آموز با ضرب‌هایی شبیه 

\(۳.۵۰\times ۱۰\)

روبرو می‌شود نتیجه‌ای که از این فعالیت‌نما گرفته کلا منجر به اشتباه می شود

یا اینکه اگر فقط این یادش مانده باشد که تعداد صفر‌های طرف چپ با راست مساوی است ممکن است آنرا به جمع هم گسترش دهد و از آن برای جمعی مثل جمع زیر استفاده کند

\(۲۰+ ۳۰\)

اینکه حاصل شش ضربدر ده به شکل ۶۰ نوشته می شود به نحوه‌ی عدد نویسی ما مربوط است و باید با احترام به آن آموزش داده شود. در مورد این بیشتر خواهم نوشت 

Categories
School Maths

از یک تا انتگرال، قسمت نه

این قمست: تفریق قسمت سه و نیم

چون در قسمت های قبلی یهو ششصد هفتصد تا پریدم جلو بدون اینکه تفریق در دبستان را اندکی تمام کنم دچارعذاب وجدان شدم و کار دیگه ای نمی توانستم شروع کنم. برای همین این را می نویسم

تم کلی: چیزهایی که در یادگیری ریاضی بچه ها خیلی مهم است و در کتاب درسی هیچ خبر و اثری از آن نیست؛ موضوع: تفریق

از تفریق چه مانده است

فکر نمی کنم هیچ چیزی بهتر از این داستانی که الان می خواهم تعریف کنم منظور کلی این نوشته را روشن کند

چند سال پیش در خانه ی ریاضیات اصفهان یه کارگاه برای معلم های دبستان داشتم و بخشی از اون به استفاده از جدول اعداد اختصاص داشت. یه تفریق مثل این داشتیم

\[۷۸-۴۶\]

و می خواستیم با استفاده از جدول اعداد جواب را پیدا کنیم

لطفا قبل از اینکه به خواندن ادامه دهید، خودتان این کار را بکنید و روش خودتان را ثبت کنید. چون من بعدش می خواهم یک سوالی از شما بپرسم که اگه بعد از خواندن جواب بدهید فایده ای نخواهد داشت

امیدوارم راه حل خودتان را ثبت کرده باشید چون الان می خواهم ادامه ی داستان را بگویم

برگردیم به کارگاه اصفهان

من رفتم پای تخته و تفریق را روی جدول انجام دادم. یادم نیست چند نفر در کارگاه بودند. شاید شراره یادش باشد و بگوید. ولی یهو متوجه شدم چشم همه ی آنهایی که در کارگاه هستند گرد شد و یه جوری که این دیگه چیه. پرسیدم مگه شما چه جوری این رو حل می کنید که شکل زیر را برایم کشیدند

توضیح اینکه، عدد اول روی جدول مشخص می شود و بعد عدد دوم از آن برداشته می شود. جواب جایی است که به آن می رسیم

اما راه حل من که چشم همه را گرد کرد و البته چشم من هم از اینکه آنها مساله را آنطوری ندیده بودند گرد شد

توضیح اینکه دو عدد داده شده در تفریق را روی جدول مشخص کردم و فاصله ی بین اون دو تا را پیدا کردم. جواب، فاصله ی بین دو عدد است

تفریق فاصله ای

به طور کلی وقتی از کمیت های گسسته حرکت می کنید به سمت کمیت های پیوسته، اهمیت و استفاده از تفریق فاصله ای هم بیشتر می شود. مثال خیلی روزمره این است که از فردی می پرسید در چه تاریخی به دنیا آمده و بر اساس آن سن او را حساب می کنید. اینطوری که فاصله ی تاریخ تولد را از تاریخ روز محاسبه می کنید. یا وقتی یه آدامس هفتاد و پنج هزار تومانی خریدید و  بقالی محل باقی صد هزار تومانی را که بهش دادید با شروع از هفتاد و پنج هزار تومان به شما برمی گردونه. یه  مثال ریاضی تر، وقتی که دو تا نقطه روی محور اعداد می گذارید و برای فاصله ی بین آن دو نقطه یک تفریق می نویسید

یه تفاوت مهم بین تفریق برداشتنی و فاصله ای این است که در تفریق برداشتنی شما تشویق می شوید که از انتها شروع می کنید. ولی در تفریق فاصله ای هم می توانید از ابتدا شروع کنید و هم از انتها. و این تفاوت نگاه باید تجربه بشه چون در دیدن ارتباط بین جمع و تفریق و هم خانواده ها نقش اساسی بازی می کنه. برای مثال، ۱۰ منهای ۸ را در نظر بگیرید و روی جدول اعداد هم آن را برداشتنی و هم فاصله ای انجام دهید

با نگاه برداشتنی از ۱۰ شروع می کنید و ۸ تا می شمارید و برمی گردید تا به ۲ برسید

با نگاه فاصله ای، ۸ و ۱۰ را روی جدول می گذارید و حالا یا از ۸ به سمت ۱۰ حرکت می کنید یا از ۱۰ به سمت ۸

آقا و خانم مثبتی

آقا و خانم مثبتی نه تنها کلا غم اشان گرفته است الان هم غم اشان گرفته است که حالا که نگاه فاصله ای به تفریق اصلا در کتاب نیست چه کنند. ولی بعد با خودشان فکر کردن، لااقل وقتی جدول اعداد را گفتند می توانند با انتخاب متنوع اعداد روی جدول تجربه ای از تفریق فاصله ای را به بچه ها بدهند. به خصوص که این نوع تفریق با تفکر طبیعی بچه ها هم هم خوانی دارد چون خیلی از بچه ها وقتی تفریق انجام می دهند به طور طبیعی از عدد کوچک تر شروع می کنند و به سمت عدد بزرگتر حرکت می کنند

حالا چی

حالا اینکه امیدوارم یه نفر یه چیزی در مورد موقعیت های کتاب های درسی که میشه به کمک آنها تفریق فاصله ای را تجربه کرد بنویسد و به عنوان بازاندیشی برای سایت بفرستد

و اینکه امیدوارم شما به قولی که دادید پایبند بوده باشید و آن تفریق بالا را قبل از خواند متن انجام داده باشید و حالا لطف کنید و جواب سوال زیر را بدهید

Categories
School Maths

از یک تا انتگرال، قسمت ششصد و هفتاد و هشت

این قسمت: تفریق، قسمت چهارم

چون «یک تا انتگرال» ها از کتاب اول دبستان شروع شدند و تا قسمت قبل همچنان در کتاب اول دبستان بودند و ناگهان در قسمت قبل اعداد منفی سر و کله اشان پیدا شد این سوال پیش آمد که آیا منظور من آموزش اعداد منفی در اول دبستان است. صراحتا بگویم که حتی اگر هم با این مخالفتی نداشته باشم آنچه من نوشتم را مناسب آن نمی دانم و اگر قرار باشد به آن منظور از آن در آن مقطع استفاده شود باید با کلی جینگولک بازی های دیگر همراه شود

پس چرا آن را نوشتم. به یه دلیل خیلی ساده که به نظر می رسه در کتاب های درسی کلا غایب است. اینکه اگه یه چیزی را در یه سالی یه جوری درس می دی، فقط هدف این نیست که اون را به عنوان یه تیکه درس بدی. باید آگاه  باشی اون تیکه چند سال بعد یا به یه تیکه ی دیگه پیوند می خورد، یا برای یادگیری آن تیکه ی بعدی مانع ایجاد می کنه. برای همین عنوان کلی این قسمت را گذاشتم «از یک تا انتگرال، قسمت ششصد و هفتاد و هشت» که معلوم بشه خیلی چیزهای دیگه قبل از اینکه به اینجا برسیم باید اتفاق بیافته

در این قسمت تلاش می کنم آنچه در قسمت سوم تفریق گفتم را توضیح بدهم. راستش خیلی از چیزها باید در آن قسمت تغییر کند، ولی آنها را تغییر ندادم که مسیر فکری ام ثبت شود که شاید به درد آیندگان بخورد

تفریق: نگاهی دوباره

در قسمت دوم و سوم دیدیم که دو نگاه کلی به موقعیتِ برداشتنی از تفریق وجود دارد

نگاه اول: به اندازه ی عدد دوم بَردار (خط بزن) و باقی را بشمار

در این نگاه پنج منهای سه، به شکل زیر مدل می شود

نگاه دوم: عدد دوم را متضاد کن و بریز روی عدد اول

در این نگاه پنج منهای سه، به شکل زیر مدل می شود

اگر چه در قسمت سوم، درک ناقص من به نگاه دوم که در حال شکل گیری بود و همچنان هست، کار کردن با نگاه دوم را سخت کرد. در اینجا تلاش می کنم یه قدم به سمت جلو بردارم

نگاه اشتباه من در قسمت سوم

در قسمت دوم خیلی اشتباه داشتم. بزرگترین آن اینکه اصرار کردم لزومی ندارد با رنگ های ثابت برای مثبت و منفی شروع کنیم و بدتر از اینکه تمرکز را گذاشتم روی عدد اول در تفریق. هر دوی این موارد باید تغییر کند

اول اینکه خوب است که رنگ ها را در ابتدا مشخص کنیم و به آن پایبند بمانیم. چون در غیر اینصورت هی باید یادمان باشد چه رنگی برای آن عددی که با آن شروع کردیم انتخاب کرده بودیم. در این نوشته، به دلیل اینکه من طرفدار لیورپول هستم، رنگ قرمز را برای اعداد طبیعی و رنگ آبی را برای متضاد آنها انتخاب کردم

دوم اینکه، تمرکز ماجرا روی عدد دوم است نه اول. در واقع عدد اول نقش باقالی را دارد

نگاهی دوباره به تفریق

تفریق یعنی عدد دوم را متضاد کن و بریز روی عدد اول

پنج منهای سه را در بالا دیدیم. یادمان باشد که تمرکز ما روی متضاد کردن عدد دوم است. یعنی اگه سه (که سه مهره قرمز است) را می خواستیم از یه عدد دیگه کم کنیم این شکل را داشتیم

حالا فرض کنید می خواهیم دو منهای سه را حساب کنیم. یعنی این شکل را داریم

حالا اونها را روی هم می ریزیم و متضاد ها همدیگر را حذف می کنند

و جواب منهای یک است (در این لحظه با خودمان فکر می کنیم چه خوب شد که از اول رنگ ها را مشخص کردیم)ا

حالا فرض کنید می خواهیم منفی دو منهای سه را حساب کنیم. یعنی شکل زیر را داریم

حالا آنها را روی هم می ریزیم (چیزی برای حذف کردن نداریم) وجواب منهای پنج است

حالا تفریق زیر را در نظر بگیریدتصاویر زیر راهنمای عمل است

حالا هر چه خواستید به جای عدد اول بگذارید و مثل قبل عمل کنید. بسته به ذایقه، اگر خواستید کمی هم نمک اضافه کنید

حالا چی

حالا اینکه درخواست قسمت قبلی برای اینکه یک نفر این روش را با روش متداول (استفاده از مهره های رنگی برای تفریق اعداد صحیح) مقایسه کند، سر جای خودش باقی است. به خصوص الان که این روش مشخص تر است، در خواست قبلی هم موجه تر است

 

 

Categories
School Maths

از یک تا انتگرال، قسمت هشت

این قمست: تفریق، قسمت سوم

شاید به خاطر شکلی که در مساله ی قمست دوم دادم، یا پیچیدگی فکری خود شما، یک سری از جواب ها یهو نوعی نگاه به تفریق را برای من به ارمغان آورد که تا آخر این نوشته ها و بعد از آن به خاطرش به شما مدیون هستم  چون حساب اعداد طبیعی به طور طبیعی ای به حساب اعداد صحیح پیوند خورد برام  

در ادامه تفریق

یه بار دیگه به شکل نگاه کنیم

می خواهیم پنج منهای سه را حساب کنیم

هر یک از مهره های آبی را با یک مهره ی قرمز جفت کنیم

و بعد کلا همه ی اون جفت ها را برداریم
و جواب این است

حالا فرض کنید که می خواهیم سه منهای پنج را حساب کنیم

هر یک از مهره های قرمز را با یک آبی جور می کنیم

و بعد کلا همه ی جفت ها را برمی داریم
و جواب این است


اگه در عجب اید که چه شد. کمی صبر کنید

مشاهده کلیدی

کیانوش در تلاش اش برای طرح تفریق برای شکل بالا برای من نوشت

داشتم به مساله فکر می کردم برای مهره ها… گوی ها برای من حکم اعداد مثبت و منفی دارند که آبی ها قرمز رو خنثی می کنند. سوال من اینه که چرا با دو رنگ مختلف نشون دادید؟

راستش خود من وقتی مساله را طرح کردم به تنها چیزی که توجه نکردم این بود. هی با خواندن پیشنهادها و راه حل های مختلف شما به این موضوع پی بردم. مثلا یکی از بچه ها وقتی ازش پرسیدم آیا برای مساله ی بستنی ها این کار را نمی کردی که مثلا پنج تا چیز بکشی و روی سه تا را خط بزنی. گفت نه، بستنی ها و آدم ها را کنار هم می کشیدم و این شکل را کشید

\[AxAxAxAA\]

همه ی اینها، مدلی را که برای پنج منهای سه کشیدم به مدل شناخته شده ی مهره های دو رنگ برای اعداد مثبت و منفی وصل کرد. ولی با یه فرق کلیدی

فرق کلیدی

در مدل شناخته شده (به این مدل در کلاس هفتم اشاره شده. لازم به گفتن نیست که به طور داغونی.) یه تعداد مهره ی آبی داری و یه تعداد مهره ی قرمز و این شرط را داری که هر آبی با یه قرمز خنثی می شود. بعد یه قرار داد هم داری که مثلا آبی ها، مثبت اند و قرمز ها منفی. همه ی این ماجرا هم یهو از آسمان می افته زمین و بدون هیچ ربط طراحی شده ای به تجربه قبلی بچه ها در کار با جمع و تفریق اعداد طبیعی

در روش «استاندارد». مهره های قرمز (مثلا منفی ها) ساز خودشان را می زنند و مهره های آبی (مثلا مثبت ها) ساز خودشان را

در روشی که در بالا شما را گیج کرد، همه ی ماجرا متفاوت می شود

قرمز و آبی دو حالت متضاد یک موقعیت اند (روی شاخه بودن یا نبودن)ا

و تفریق به طور طبیعی یعنی جمع با حالت متضاد

امیدوارم وقتی داشتید محاسبات شکلی من را برای «پنج منهای سه» و «سه منهای پنج» می خواندید از خودتان پرسیده باشید که از کجای شکل باید بفهمیم که جواب تفریق اولی دو است جواب تفریق دومی منهای دو

این طوری که وقتی مثلا سه منهای پنج را انجام می دهید، سه عددی است که چیزی دارد از آن کم می شود (اسم تخصصی این یادم نیست ولی یه اسمی داره). بعد متضاد آن را با آن جفت می کنید و همه ی جفت ها را بر می دارید. در جواب دو مهره  با رنگ متضاد با رنگی دارید که  عدد سه را با آن نمایش دادید و این یعنی جواب منهای دو است

حالا چی

حالا اینکه من دیگه حرفی برای گفتن ندارم و می رم با خودم و زندگی ام حال کنم. فقط یه خواهشی؛ یه نفر مدل شناخته شده ی درست استفاده شده را معرفی کند و در کنار مدل جدید قرار دهد- در حالت های مختلف و با شکل های خوشگل و رنگی رنگی- و آن را به عنوان بازاندیشی بفرستد تا روی سایت قرار دهم. تاکیدم روی استفاده  درست از مدل شناخته شده برای این است که مثل کتاب هفتم عمل نکنید که که اول محاسبات اعداد صحیح را درس می دهد و بعد مدل مهره های رنگی را معرفی می کند و قوانین آموزش داده شده ی جمع و تفریق اعداد صحیح را روی آنها اعمال‼ و اینکه اگر دوست دارید این کار را بکنید لطفا در کامنت زیر بنویسید که دوباره کاری نشود

Categories
School Maths

از یک تا انتگرال، قسمت هفت

این قسمت: تفریق، قسمت دوم

راستش اصلا این قسمت قرار نبود نوشته شود. یعنی اصلا یه چیز دیگه می خواستم در مورد تفریق بنویسم ولی جواب هایی که شما به سوالم در کانال تلگرام دادید کلا مسیر فکری ام را عوض کرد. جواب ها یه خاصیت دیگه هم داشت، اینکه فهمیدم کی پست ها را می خواند و کی نمی خواند 🙂 علاوه بر این، یک بار دیگر در کنار هزار بار دیگر با خوشحالی و تعجب همیشگی به من ثابت شد که ما هیچ وقت همه چیز را در مورد یک چیز نمی دانیم. حتی اگر آن چیزی به «سادگی» تفریق باشد

تم این قسمت: مدل ها   ؛ مفهوم خاص این قسمت: تفریق

آنچه من انتظار داشتم

شما ای خواننده ی محترم می دانی که من شکل زیر را در کانال تلگرام به اشتراک گذاشتم و پرسیدم یک مساله کلامی بنویسید که مدل اش این شکل باشد و جواب اش تفریق پنج منهای سه
آنچه من در ذهن داشتم چیزی شبیه مساله ای بود که در قسمت اول تفریق نوشتم. مساله ای که «برداشتنی» نبود و شخصیت های آن  سه مولف و شانزده برنامه ریز درسی بودند و می خواستیم بدانیم برنامه ریزان چند نفر از مولفین بیشترند. قشنگ تر از این مساله، مساله ی زیر است

پنج نفر سه بستنی خریده اند. چند نفر بدون بستنی می مانند؟

توجه کنید که نکته ی مشترک در این دو مساله این است که دو مجموعه داریم و اعضای یک مجموعه را با مجموعه ی دیگر در تناظر قرار می دهیم و هدف مان پاسخ به سوال زیر است

چند عضو یک مجموعه در تناظر با مجموعه دیگر قرار نمی گیرد

این سوال می تواند در موقعیت های مختلف پرسیده شود. هر یک از موقعیت ها به شکل جفت ظاهر می شوند

دو موقعیتی که شما برای من فرستادید اینها هستند

بعد از تناظر چند تا تنها می مانند

مساله بستنی ها

یا جفتِ موقعیت بالا که با تاکید متفاوتی پرسیده می شود

چند تا داشته باشی تا دو مجموعه هم تعداد بشوند

یه جا تخم مرغی داریم که جا برای ۵ تا تخم مرغ داره. و سه تا تخم مرغ هم داریم. چندتا تخم مرغ دیگه لازم داریم که جا تخم مرغی پر بشه

در این شکل مثال بستنی ها اینطوری می شه که چند تا بستنی دیگه باید خرید که همه بستنی داشته باشند

یک مجموعه چند عضو از مجموعه دیگر بیشتر/کمتر دارد

مثال مولفین و برنامه ریزان یا مثال زیر

من پنچ تا گردو دارم. شما سه تا. من چند تا گردو از شما بیشتر دارم؟

اینها چیزهایی بود که من انتظار داشتم و جالب اینجا که از این همه موقعیت طبیعی هیچکدام در کتاب درسی نیست. توجه کنید که در همه ی این مثال ها هشت عضو متمایز داریم که پنج تا از آنها در یک مجموعه و سه تای دیگر در مجموعه دیگر قرار دارند

آنچه انتظار نداشتم

علی ۵ تا پیتزا درست کرد سه تاشو توی فر گذاشت و پخت چند تای دیگه رو باید بپزه؟

کیک تولد شراره پنج ساله از اصفهان  ۵  شمع دارد. مادر او همه ی شمع ها را روشن کرد. او شمع ها رو فوت کرد و سه شمع خاموش شد.  الان چند شمع روشن است؟

۵ دوست تصمیم گرفتند به جنگل بروند و شب را آنجا بمانند. آن‌ها تصمیم گرفتند تقسیم کار کنند. تعدادی از آن‌ها چادر بزنند و تعدادی هیزم جمع کنند. اگر ۳ دوست به هیزم جمع کردن مشغول شوند، چند نفر در حال چادر زدن هستند؟

توجه کنید در همه ی این مثال ها ما فقط یک مجموعه داریم. این مجموعه پنج عضو دارد. ولی این اعضا در دو شرایط متفاوت قرار می گیرند. و ما با داشتن تعداد اعضایی که شامل یکی از این شرط ها می شوند، تعداد اعضای دیگر را می خواهیم

معنی مدل در چشم های تو است نه در آن چه به آن می نگری

وقتی از طراح مساله ی بستنی ها پرسیدم اگر مساله را داشت و مدلی که من دادم را نداشت خودش چی می کشید. گفت پنج تا مربع می کشیدم و داخل سه تا از آنها را تیک می زدم. و وقتی همین سوال را از طراح مساله پیتزاها پرسیدم گفت به احتمال قوی سه تای پخته را از بین همون پنج تا انتخاب می کردم و متفاوت نشون میدادم، حالا با یه ضربدر یا با یه رنگ دیگه. بستنی ها از نظر من به دسته ی «تفریق های دو مجموعه» ای تعلق داشت و پیتزاها به دسته «تفریق های یک مجموعه ای و دو شرطی»، چه جوری است که یک مدل برای هر دوی آنها کار می کند. بعد با کمال تعجب و خوشحالی از یادگیری جدید دریافتم که در واقع هر دو مدل برای هر دو دسته مساله کار می کند‼ فیلم زیر را برای نشان دادن این ساخته ام

وقتی بدون حواشی کلامی مساله ها به اون ها فکر کنی، کلا دو حالت بیشتر نداری، «چوب های خط خورده و چوب های خط نخورده» و «چوب ها و خط ها» (و می توانی هر یک از این حالت را با تمرکز بر هر یک از دو جز شکل دهنده ی آن بپرسی) که خوب این دو حالت هر کدام به اون یکی قابل تبدیل است و بستگی داره چه جوری به ماجرا نگاه کنی. یادت باشه, معنی مدل در چشم های تو است نه در آن چه به آن می نگری

ولی بالاخره یه مدل در بعضی موقعیت ها طبیعی تر است

راستش خیلی دوست دارم این را باور کنم. ولی اگر اون رو باور کنم با اینکه معنی مدل در نگاه تو است در تضاد قرار می گیرد.مثلا به مساله زیر و راه حل آن نگاه کنید

به نظر راه حل داده شده طبیعی است. ولی حواسمان باشد که این راه حل برای بچه ای داده شده است که با مساله ی زیر با مفهوم تفریق مورد تاکید کتاب آشنا شده است

برای حل این مساله از او خواسته شده است که

تعداد شکل های سمت چپ را بگوید و با انگشتان یک دست نشان بدهد. به تعداد شکل های سمت راست انگشتان خود را ببندد و توضیح بدهد چند تا مانده است

خلاصه اینکه تفریق در کتاب همیشه برداشتنی است و همیشه یک مجموعه ای و دو شرطی است و از مدل چوب و خطی شروع می کند و به مدل چوب های خط خورده ، «چوب های باقی مانده» می رسد. توجه کنید که به جای چوب های خط خورده و خط نخورده، نوشتم خط خورده و باقی مانده، چون تاکید کتاب روی «ماندن» است که البته بسیار امیدوارم با خود کتاب به زودی برود

حالا چی

حالا اینکه اگر از این نوشته تعجب کردید، منتظر نوشته بعدی بمانید. مشاهده ی بعدی آنقدر عجیب است که من دیروز هی در خانه راه می رفتم و هی می گفتم اَ اَ اَ مگه می شه این همه سال این رو ندیده باشم و نفهمیده باشم

بعد برای اینکه بیشتر درک کنید نگاه کتاب به تفریق چقدر محدود است این را در نظر بگیرید که هر یک از مساله های بالا به شکل یه مساله ی مجهول یابی هم می تواند پرسید شود و چون برای هر مساله ی تفریق می شود دو تا مجهول یابی نوشت یعنی دو برابر تعداد حالت های بالا به ماجرا اضافه می شود. و اگر فکر می کنید خوب دیگه همه ی حالت ها بررسی کرده اید، مدیون بچه های مردم اید، چون هر یک از این حالت ها با یک مساله ی جمعی متناظر می شود و خیلی وقت ها مساله به شکل جمع نوشته شده است و شما برای حل آن تفریق می کنی. همه ی این ها را بریزی روی هم، یعنی تعداد حالت ها چهار برابر حالت های بالا است. و حالا اگه فکر می کنید خوب دیگه همه ی حالت ها را در نظر گرفته اید، مدیون بچه های مردم اید. چون یه نگاه دیگه به تفریق وجود داره که اصلا مثل حالت های بالا شمارشی نیست، اندازه گرفتنی است. در مورد این هم بعدا خواهم نوشت

و اینکه چند روز پیش «پندی» یک کاربرگ برام فرستاد که توسط یکی از «بچه» هاش طراحی شده است برای تفریق. می دونم الان بدو بدو می ره و یه تنوعی به مساله های اون کاربرگ می ده. ولی یه چیزی در اون هست که خیلی خوبه. اینکه از بچه پرسیده شده به نظرش برای هر مساله ای چه شکلی مناسب تر است. و مهم تر اینکه تاکید کرده که می توانی یک شکل را برای چندین مساله انتخاب کنی. این کار برگ را اینجا ببینید

توجه کردید که به کتاب تیکه نیانداختم. شاید هم اونقدر تیکه هام نهادینه شده که انداختم و متوجه نشدم

Categories
School Maths

از یک تا انتگرال، قسمت شش

این قسمت: تفریق، قسمت اول

حتما به این موضوع توجه کرده اید که در قسمت های قبلی هی گفتم در مورد  تفریق خواهم نوشت و هی در قسمت های بعدی یه چیز دیگه نوشتم به جای تفریق. راستش دلیل اش این است که تفریق سخت ترین است و نحوه ی برخورد کتاب اول دبستان با آن مبتذل ترین

تم کلی: اشتباه مکرر کتاب درسی در تعریف یک مفهوم با یک ابزار ثابت؛ مفهوم این قسمت: تفریق

تفریق فقط چند تا رفت چند تا ماند نیست

برای درک کتاب درسی « مسئله زیر را با چوب خط و یا با کشیدن شکل حل کن و برای راه حلّ خود یک عبارت جمع یا تفریق بنویس.» البته متوجه هستم که در مورد زیر کشیدن چوب خط به حقیقت نزدیک تر است

سه مولف کتاب درسی در اتاقی مشغول فکر نکردن بودند. دو تا از آنها خیلی فکر نکردند و رفتند بیرون هوایی بخورند. حالا چند مولف در اتاق مشغول فکر نکردن است؟

\[۳-۲=\]

مولف در اتاق مانده است

برای کتاب درسی تفریق یعنی

از یک تعداد مشخص داده شده، یه تعداد مشخص داده شده برداری. جواب تفریق همیشه تعدادی است که مانده است

ولی این فقط یکی از موقعیت های مربوط به تفریق است از میان چندین و چندین موقعیت ممکن. مثلا موقعیت زیر 

سه مولف کتاب درسی در اتاقی مشغول فکر نکردن بودند. چند تا از آنها خیلی فکر نکردند و رفتند بیرون هوایی بخورند. حالا یک مولف در اتاق مشغول فکر نکردن است. چند مولف رفته اند که هوا بخورند؟

توجه کنید که فقط با یک تغییر کوچک، موقعیتی متفاوت از تنها موقعیت مورد تاکید کتاب درسی داریم. در این مساله هم همچنان تفریق یعنی از یک تعداد مشخص داده شده، یک تعداد مشخص داده شده برداری. ولی اینبار، جواب تفریق تعدادی است که رفته است، نه تعدادی که مانده است

می توان به شکل های مختلف این مساله را طراحی کرد که در آن جواب مساله  تعداد کل است ولی می توان برای پیدا کردن آن یک تفریق نوشت، یا تعدادی است که برمی داری و می توان برای پیدا کردن آن یک تفریق نوشت. یا حتی می توانی موقعیتی داشته باشی که اصلا مبتنی بر برداشتن نیست. برای مثال، موقعیت زیر

سه مولف کتاب درسی در اتاقی مشغول فکر نکردن هستند. شانزده برنامه ریز درسی در اتاق دیگر مشغول فکر نکردن هستند (این اعداد واقعی است). اتاق برنامه ریزان درسی چند نفر فکر نکن بیشتر از اتاق مولفین دارد؟

اینها فقط مثال هایی از موقعیت های ممکن است. محققین مختلف به روش های مختلفی موقعیت های مربوط به تفریق (و جمع) را دسته بندی کرده اند. من یکی از معروف ترین ها را در اختیار آقا و خانم مثبتی قرار داده ام به امید اینکه به کار مولف ها و برنامه ریزان  بعدی که شاید در اتاق مشغول فکر باشند هم بیاید. من هم به سهم خودم تلاش خودم را در دسته بندی مفاهیم مربوط به تفریق خواهم کرد. ولی نه در این نوشته، در نوشته ی بعدی

آقا و خانم مثبتی

آقا و خانم مثبتی همیشه قبل از طراحی برای کلاس درس سعی می کنند کمی مطالعه کنند. ولی چون مفهوم تفریق کمی سخت است و مطالعه ی این مقاله کلاسیک کمی وقت می برد فعلا به این بسنده می کنند که یک تغییر در نحوه ی برخورد با مساله های کتاب درسی ایجاد کنند: روی «ماندن» در جواب مساله تفریق تاکید نکنند. مثلا در مساله ی زیر می توان نوشت، «حالا در ظرف است» به جای در ظرف مانده است

یا می توان در مساله ی زیر پرسید، حالا چند تا شمع روش است؟

ولی حواس آقا و خانم مثبتی جمع است که یک وقت از آن ور پشت بام پایین نیافتند و جایی که استفاده از «ماندن» طبیعی است از آن استفاده کنند. برای مثال در سوال زیر

حالا چی

حالا اینکه اگه یه وقت خدایی نکرده فکر کنین که این کلاس اول دبستان است و کتاب باید از یه جایی شروع می کرد وحتما در سال های بعد به موقعیت های دیگه ی تفریق هم پرداخته، مدیون بچه های مردم هستید. چون بررسی کردیم و نیافتیم. ولی چون من یه نفر آدم ام، ممکن است چیزی را از نگاه انداخته باشم. لطفا اگر موقعیت غیر برداشتنی از تفریق در کتاب های دیگر سراغ دارید بگویید که به آن در نوشته های دیگر اشاره کنم که مدیون مولفین نشوم

 الان یهو یادم آمد که تم این قسمت «اشتباه مکرر کتاب درسی در تعریف یک مفهوم با یک ابزار ثابت» بود و من در مورد ابزار مورد اشاره چیزی ننوشتم. راستش در این مورد چون موقعیت های تفریقی کتاب همه برداشتنی است، در واقع یک مجموعه از ابزار ها داریم که همه یک کار را می کنند، خط بزن، انگشت ها را ببند، چوب خط بکش و بعد خط بزن، این وسط خط اعداد هم یهو به ماجرا تحمیل شده که هیچ جوری جاش این جا نیست. بعدا در مورد این هم خواهم نوشت

در این قمست شما می توانید اگر خواستید فحش ندهید چون خودم در متن بالا به اندازه ی کافی حرکت هایی زده ام

Categories
School Maths

از یک تا انتگرال، قسمت پنجم

این قسمت: مجهول یابی

من: پندی کمک. نمی تونم در کتاب اول دبستان چیزی در مورد اینکه جمع و تفریق معکوس هم دیگه هستند پیدا کنم!!! نمی شه نباشه. ولی کجاست؟

پندی: سلام، نیست به نظرم، لااقل صریح نیست، نه جمع و تفریق های هم خانواده هست، نه مجهول یابی

در قسمت قبل در مورد هم خانواده ها نوشتم، در این قسمت در مورد مجهول یابی

مجهول یابی چیست

جواب را به تصویر از کتاب اول دبستان سال ۱۳۴۷ می سپارم

چرا وقتی من از پندی در مورد اینکه جمع و تفریق معکوس هم دیگه هستند پرسیدم به مجهول یابی هم اشاره کرد

به فیلم زیر نگاه کنید تا جواب این سوال را بگیرید. ولی لطفا قبل از اینکه توضیحات من را بخوانید، نحوه ی فکر کردن خودتان را به سوالی که در فیلم پرسیده شده یادداشت کنید. همچنین «برای راه حل خود یک عبارت جمع یا تفریق بنویس»ا

تو رو خدا، اول به راه حل خود فکر کنید و عبارت جمع و تفریق تان را بنویسید و بعد به خواندن ادامه دهید

سه تا از جورهایی که می شه به این مساله فکر کرد این ها هستند. لطفا شما اگر جور دیگری به آن فکر کردید زیر این پست بنویسید

چهار تا را می بینم (مانده اند). اون تعدادی که زیر دستمال است (رفته اند) را اگر به این چهار تا اضافه کنم. باید بشود ده تا

پس می خواهم جای خالی در عبارت زیر را پیدا کنم

\[۴+\Box=۱۰\]

ده تا داشتم. چهار تا را می بینم (مانده اند). باید پیدا کنم چند تا را نمی بینم (رفته اند). پس می خواهم جواب تفریق زیر را پیدا کنم

\[۱۰-۴=\Box\]

ده تا داشتم. یک تعدادی را نمی بینم (رفته اند). چهار تا را می بینم (مانده اند). پس می خواهم جای خالی در تفریق زیر را پیدا کنم

\[۱۰-\Box=۴\]

توجه کنید که روش وسط، تنها روش مورد تاکید کتاب اول دبستان سال ۱۳۹۹  است. ولی حتی در این روش مورد تاکید هم کتاب خوب عمل نکرده است چون مفهوم تفریق را به واژه ی «ماندن» پیوند داده است. برای کتاب همیشه جواب تفریق آن تعدادی است که باقی مانده است. ولی خیلی از اوقات جواب تفریق آن تعدادی است که رفته است

علاوه بر این توجه کنید که همه ی این روش ها، روش های مختلف نگاه کردن به یک موقعیت هستند و اینطوری است که جمع و تفربق و مجهول یابی در هر لحظه نفس یکدیگر را حس می کنند  

آقا و خانم مثبتی

آقا و خانم مثبتی مثل همیشه با مثبت اندیشی سریع به این فکر می کنند که حالا چی کنیم و چه جوری بدون اینکه خیلی از کتاب دور بشیم به ریاضیات درست پایبند باشیم. آنها قبلا توجه کرده بودند که بچه ها به طور طبیعی مجهول یابی می کنند چه ما بخواهیم و چه نخواهیم. به همین دلیل تصمیم گرفتند از ایده ی فیلم بالا استفاده کنند و مجهول یابی کردن آنها را وسط کلاس بیاورند. به داستان های مختلفی فکر کردند. مثلا این اتفاق طبیعی که یه تعداد اسباب بازی داری، چند تاش رفته زیر مبل، داری اونها را دانه دانه از زیر مبل می کشی بیرون و می خوای بدونی آیا همه را بیرون کشیدی یا نه. یا مثلا، شعبده بازی. یه تعداد مهره می ریزی. چشم هات رو می بندی و از دانش آموز می خواهی یه چند تایی از اونها را برداره و بعد چشم هات رو باز می کنی و خیلی شعبده باز مانند می گی که چند تا را برداشته. یا اینکه دانش آموز نقش شعبده باز رو بازی می کنه و چشم هاش رو می بنده و شما چند تا را برمی دارین و اون چشم هاش رو باز می کنه و با دیدن آنچه مانده می گه چند تا را برداشتین؛ فیلم زیر را نگاه کنید

حالا چی

حالا اینکه فحش به کتاب درسی یادتان نرود

در مورد تفریق خواهم نوشت. نیاز به یادآوری نیست. یادم هست که هنوز آن را بدهکارم. ولی اگر در این فاصله شما هم یک زبان خنثی برای تفریق پیشنهاد کنید که مبتنی بر فعل «ماندن» نباشد خیلی کمک است

و اینکه پسر من با روش مورد مشاهده در فیلم بالا اعداد را یاد گرفت. با شروع از عدد چهار شعبده بازی کردیم و بعد به پنج رفتیم و بعد به شش و همینطوری رفتیم بالا. فیلم زیر او را در شش سالگی و قبل از رفتن به کلاس اول دبستان نشان می دهد و بدون استفاده از هیچ نماد نوشتاری. لطفا اگر از این ایده استفاده کردید مشاهدات خود را برایم بفرستید. فیلم هم داشت که چه بهتر. فیلم پسر من هم به عنوان جایزه که تا اینجا خودتان را رساندید

Categories
School Maths

از یک تا انتگرال، قسمت چهارم

این قمست: هم خانواده ها

راستش اول می خواستم عنوان این قسمت را بگذارم «مگه می شه؟» ولی از اونجایی که مدتی است که یادگرفته ام که عنوان باید چیزی در مورد محتوا بگوید، «هم خانواده ها» را انتخاب کردم. ولی خداییش مگه می شه؟

مگه می شه؟

من: پندی کمک. نمی تونم در کتاب اول دبستان چیزی در مورد اینکه جمع و تفریق معکوس هم دیگه هستند پیدا کنم!! نمی شه نباشه. ولی کجاست؟

پندی: سلام، نیست به نظرم، لااقل صریح نیست، نه جمع و تفریق های هم خانواده هست، نه مجهول یابی

هم خانواده ها

اینکه هم خانواده ها چه هستند را به لوح زیر از کتاب اول دبستان سال ۱۳۴۷ واگذار می کنم

به زبان ریاضیات، این لوح می خواهد بگوید که جمع و تفریق معکوس هم دیگرند، یا به زبان ادبیات ریاضی دبستان، می خواهد جمع و تفریق های هم خانواده را معرفی کند. البته قبل از این صفحه جمع و تفریق و علامت های آن را هم معرفی کرده. من هم قبل از اینکه به اینجا برسم باید در مورد تفریق می نوشتم.  چون هنوز تفریق را ننوشته ام، در اینجا فقط بگویم دو جور می شود به هم خانواده ها نگاه کرد

نگاه خانواده ی چهار عضوی که در آن عضوها جفت هستند. مثل نگاه بالا

نگاه خانواده ی سه عضوی که در آن یک جمع با دو تا تفریق هم خانواده است. برای مثال\[۲+۳=۵\]با

\[۵-۲=۳\]

و

\[۵-۳=۲\]

هم خانواده است

از آنجا که هنوز در مورد تفریق ننوشتم، وارد تفاوت مفهومی این دو نوع نگاه نمی شوم و فعلا وقتی می نویسم هم خانواده، منظورم ارتباط متقابل جمع و تفریق است بدون توجه به ریزه کاری بالا. حالا سوال اینجاست که چگونه این جمع و تفریق را به عنوان یک خانواده وارد کلاس کنیم

آقا و خانم مثبتی

آقا و خانم مثبتی معلم اند و هر با وجود اینکه بیشتر اوقات آنچه را که می خواهند در کتاب درسی نمی یابند، تلاش می کنند کتاب درسی را با مثبت اندیشی درس بدهند. چون هر دو آدم های پر مطالعه و باذوقی هستند فکر کردند که چگونه با ایده گرفتن از لوح زیر از کتاب اول دبستان ۱۳۴۷ هم خانواده ها را معرفی کنند

آنها به این فکر کردند که کافی است در مورد هر شکل به اینکه اگر دو قطعه را به هم بچسبانیم هم توجه شود و برای آن یک جمع نوشته شود و این طوری خانواده ی محترم هم خانواده ها را معرفی کنند. شما چگونه آنها را وارد کلاس خود می کنید؟ لطفا برایم بنویسید

حالا چی

حالا اینکه اولین نسخه ی این قسمت تقریبا سه صفحه بود و دو تا فیلم  داشت. بعد دیدم که در یک نوشته هم به مفهوم تفریق پرداختم، هم مجهول یابی، هم هم خانواده ها، برای همین اون رو دوباره نوشتم و این چیزی شد که خواندید. خوبیش این بود که نوشته ی فردا آماده است

اما در مورد خود هم خانواده ها، آنچه در بالا نوشتم بعد از معرفی های نمادهای جمع و تفریق است. در حالی که تجریه ای از این هم خانواده ها  را می توان و باید قبل از معرفی نمادها به بچه ها داد. لطفا هر ایده ای که در این مورد دارید با نماد یا بدون نماد برایم بفرستید  

و اینکه دیگه کار من از تیکه انداختن به کتاب درسی گذشته است و به فحش دادن رسیده. ولی چون اینجا خانواده رد می شود فحش ها را نمی نویسم. لطفا شما خودتان فحش ها را بدهید

و آخر اینکه، تیکه تیکه درس دادن از اول دبستان نهادینه می شود. بیخود نیست که یهو در سال آخر انتگرال را با خیال راحت می پرانند. اگر ارتباط جمع و تفریق در اول دبستان مهم نیست، چرا ارتباط مشتق و انتگرال در آخر دبیرستان باید مهم باشد