Categories
Textbook قصه های مجید

قصه های مجید، فصل هشتم

این قسمت: معلمِ مجید همسایه

در آنچه که گذشت خواندیم که تغییر ذهنی یک ساختار یادگرفتنی است. در این قسمت، معلمِ مجید همسایه تلاش می کند که در ایجاد این تغییر ساختار به بچه های کلاس نهم کمک کند، در حالی که کتاب را هم درس می دهد. می دونم می خواهید بپرسید مگه این دو تا اصلا با هم می شه. بخوانیم

معلمِ مجید همسایه کیست

اول، شرمنده اینکه چون معلم مجید همسایه در مدرسه ی پسرانه درس می دهد ناچارا از شخصیت های مذکر داستان است. ولی می توانست شخصیت مونث داستان هم باشد. دوم اینکه مدرسه ای که در آن درس می دهد، مدرسه ی خاص نیست و او مجبور است به  کتاب پایبند بماند. الان رسیده است به مجموع زاویه های مثلث و برای اینکه همه ی کلاس را همراه کند، به هر یک از بچه ها یک مثلث کاغذی داده است و از بچه ها خواسته است که با آن مثلث کاشی کاری کنند. او انتظار داشت که بچه ها جورهای مختلفی کاشی کاری کنند، مثلا این

 قبل از اینکه یهو متوجه شوند  ساختاری که مهم است این است

 ولی برای اینکه هدف درس مجموع زاویه های مثلث است برایش مهم است که بچه ها خطوط موازی را در شکل ببیند. برای همین بعد از اینکه بچه ها کاشی کاری کردند، صرف نظر از روش آنها، توجه بچه ها را به شکل زیر جلب می کند

و بدون اینکه حرفی بزند شروع به رنگ کردن زاویه های مساوی با هم در یکی از راس های شکل می کند

بعد می پرسد، مجموع همه زاویه ها چند است؟ با توجه به این مجموع زاویه های مثلث چند است؟

البته با توجه به اینکه بچه ها در کلاس هشتم با مجموع زاویه های مثلث آشنا شده اند، معلم مجید همسایه، از این بخش ماجرا دو هدف دارد: اول اینکه یادآوری کنه که چگونه بدون اندازه گیری و بدون اینکه بدانیم هر زاویه چقدر است می توانیم یک حکم کلی در مورد مجموع زاویه های مثلث بدیم، و دوم، برای  برداشتن قدم مهم بعدی از آن استفاده کند و آن ارایه ی اثباتی بدون حرکت است

اثبات بدون حرکت

زمان اقلیدس خدا بیامرز ملت خیلی با حرکت مشکلات فلسفی داشتن (پارادوکس های زنون همه را بیچاره کرده بود) به همین دلیل اثبات های مبتنی بر حرکت رو قبول نمی کردند. و کاری که ما با کاشی کاری کردیم دیگه ته حرکت بود. هی مثلث رو برداشتیم و چرخوندیم و جابجا کردیم و غیره. معلم مجید همسایه که نمی دونست این چیزها را چه جوری به بچه های کلاس نهم توضیح بده تصمیم گرفت اول توجه ی اونها را به قسمت هایی از ساختار جلب کنه که شاید این منظور رو برسونه. برای همین یه قسمت هایی از ساختار رو با دست پوشاند و قسمت های زیر از کاشی کاری رو رنگ کرد

و بعد این سوال رو پرسید که اگه نخواهیم کاشی کاری کنیم و نشان بدهیم مجموع زاویه های مثلث ۱۸۰ درجه است چی کار کنیم. و در اینجا بود که از بچه ها خواست برن یه نگاه به کتاب بندازن. و بعدش یه اشاره ی کوتاه به اثبات بدون حرکت کرد چون حالا برای اون یه مثال داشت

حالا چی

حالا اینکه معلم مجید همسایه با خودش فکر می کنه که چه جوری همه ی اینها می توانست از این سوال در بیاد که

دربارهٔ معتبر بودن استدلال های این دانش آموزان بحث کنید

اصلا اعتبار اثبات یعنی چی؟ 

و اینکه معلم مجیدِ همسایه یه لحظه آرزو کرد که ای کاش معلم مجیدِ مجید اینها بود که احتمالا می دونه که اثباتی که در اون از حرکت استفاده شده باشه اگر چه اثبات است ولی یک اثبات اقلیدسی معتبر نیست

ولی بعد با خودش فکر کرد اصلا اگه مجیدِ مجید اینها واقعی بود چه احتیاجی به معلم داشت. و بعدش هم، چه چیزی لذت بخش تر از اینکه همه ی این ماجرا، از مجموع زوایه های مثلث گرفته، تا روش خوب کاشی کاری، تا نقش خطوط موازی، تا اثبات با حرکت و بی حرکت، می تونه روی یک شکل دیده بشه، به شرطی که بدونی هر بار به کجای اون شکل نگاه کنی. و خوشحال بود از اینکه شاید توانسته باشه به مجید همسایه یه چنین تجربه ای را بدهد و در ضمن از کتاب درسی هم به طور معجزه واری استفاده کند

و با این پایان خوش، قصه های مجید به اتمام رسید. ممنون که خواندید و نظر دادید و حمایت کردید 

  

Categories
Textbook قصه های مجید

قصه های مجید، فصل هفتم

این قسمت: بچه همساده

بعد از اینکه در قسمت های قبلی همه را از زندگی بیزار کردم تصمیم گرفتم این قسمت را به بچه همساده اختصاص دهم که تنها ارتباطی که با مجیدِ مجید اینها دارد، این است که هم سن او است 

مجید همسایه کیست

مجید همسایه کلاس نهم است. او یکی از دانش آموزانی است که من و شما هر روز با آنها سر و کله می زنیم

 یک روز معلم مجید همسایه کاشی های کلاس درس را به آنها نشان داد و گفت  به این کار می گن کاشی کاری. و مجید همسایه اینها با هم گفتن «نه بابا!» بعد معلم که منتظر این واکنش بود، رو دست زد و گفت حالا ما می خواهیم یه کمی مدرن بازی در بیاریم و به جای این کاشی مستطیلی ها، با این کاشی مثلثی ها، کاشی کاری کنیم. اینطوری. بعد یک عکس از سفره خانه اشان را  نشان داد

شرمنده در این اوضاع قرنطینه همین رو دم دست داشتم

سفره به نظر خیلی ساده می رسید چون رسما مثل همون کاشی مستطیلی ها بود. ولی بعد معلم، دست کرد تو یه کیسه و یه عالمه مثلث که با کاغذ بریده بود و بین بچه ها پخش کرد و گفت هر کی باید با کاشی خودش کاشی کاری کنه. از شانس مجیدِ همسایه، کاشی او بد شکل ترین کاشی ممکن بود

اولش هیچ ایده ای نداشت که اصلا آیا با اون کاشی می شه کاشی کاری کرد یا نه. بعدش هم یه کمی طول کشید که متوجه بشه از اون یه دونه کاشی می تونه به عنوان یه ابزار برای کشیدن کاشی های دیگه استفاده کنه. یه کاشی کشید و هی کاشی های دیگه رو کنار اون کشید و بعد از چند تلاش نا موفق شکل زیر رو درست کرد (که کشیدن آن را به خاطر تنبلی به خواننده محول می کنم)ا

راستش، کاشی کاری کرده بود، ولی هنوز نمی دونست اگه با یه کاشی دیگه شروع می کرد هم می تونست کاشی کاری کنه. راستش اصلا به این سوال فکر هم نمی کرد، چون همه ی تمرکزش روی کاشی خودش بود. بچه های دیگه هم هر کی داشت با کاشی خودش کار می کرد و بعضی ها هنوز موفق نشده بودند

در این لحظه بود که معلم به بچه ها گفت خاک برسرتون. ببینین مهدیِ مجید اینها چقدر ساده، بدون اینکه کسی ازش بپرسه، کاشی کاری می کنه و بعد کتاب درسی را به آنها نشان داد

هاها. نگران نباشین. معلم مجید اینها این کار را نکرد. فقط خواستم به سبک این فیلم ها اتفاقات ممکن رو برای ایجاد هیجان نشون بدم

معلم مجید همسایه چی کار کرد

در این لحظه کم و بیش همه ی بچه های کلاس با کاشی خودشون کاشی کاری کرده بودند و الان سوال این بود که آیا می شود با هر کاشی مثلثی کاشی کاری کرد. مثلا با این کاشی. و معلم دست کرد در کیسه و یک کاشی را بیرون نکشید! این حرکت کل جریان فکری کلاس را یک مرحله بالا آورد. چون تا قبل از این فقط باید با کاشی خودشان کاشی کاری می کردند و حالا باید توضیح می دادند که چگونه می شود حتی با یک کاشی ندیده کاشی کاری کرد

حالا چی

راستش این داستان را نوشتم با این هدف که نشان بدهم چگونه می توان به مجید همسایه کمک کرد که متوجه شود مجموعه ی زوایای مثلث یک حکم کلی قابل استدلال کردن است. ولی همینطور که نوشتم، هی بیشتر و بیشتر متوجه چیزی شدم که تا بحال از نظرم پنهان مانده بود. اینکه مشکل کتاب های درسی، بیشتر از اینکه مجیدِ مجید اینها باشه، معلمِ مجید اینهاست که هیچ نقشی در آموزش بچه ها ایفا نمی کند به جز اینکه یه سوال بپرسد و منتظر شود که به مجید کلاس وحی شود

نشد که یه داستان را به خوبی و خوشی تمام کنم. ادامه ی کاشی کاری و چگونه ی اتصال آن به مجموع زوایای مثلث را و بعد چگونه ی اتصال آن را به آن صفحه کذا از کتاب درسی، در یکی از مجیدهای همسایه  خواهم نوشت (اگر در قرنطینه بمانم)ا

Categories
Textbook قصه های مجید

قصه های مجید، فصل ششم

این قسمت: گاوسِ مجید اینها

این قسمت یه کمی با قسمت های قبلی فرق می کنه چون یه جورهایی مروری بر قسمت های قبلی محسوب می شه و شفاف سازی یکی از اهداف نوشتن آنها

من

همه ی اونهایی که روزی این شانس رو داشته اند که با من درس داشته باشند می دانند که مخالف انجام فعالیت در کلاس نیستم و اتفاقا اکثر اوقات متهمم که از اونها زیادی استفاده می کنم. اونهای هم که با من درس نداشته اند، از این شانس برخوردارند که بعضی از تجربه ی کلاس های من را در رشد آموزش ریاضی بخوانند (متوجه شدم آنها را روی سایت قرار نداده ام که بزودی خواهم داد.) اکثر این نوشته ها زمانی نوشته شده اند که بشر هنوز نمی دانست فعالیت را با کدام پ بنویسد. خلاصه اینکه من با فعالیت در کلاس درس مشکل ندارم و سال هاست که با هم به خوبی و خوشی زندگی می کنیم. این معرفی فروتنانه نشان می دهد که 

 قصه های مجید نه درباره ی انجام فعالیت در کلاس، بلکه در مورد آن بچه نماهایی است که شخصیت کتاب های درسی هستند. برای توضیح این موضوع از گاوسِ مجید اینها کمک می گیرم

گاوسِ مجید اینها کیست

کارل فردریش گاوس، ریاضی دانی است که از یکی از داستان های بچگی او و به دلیلی که بر من معلوم نیست بدون نام بردن از خود او در کتاب هشتم یاد شده است

قبل از ادامه، از خواننده محترم درخواست می کنم حتما داستان را از زبان پولیا در جلد اول کتاب خلاقیت ریاضی (انتشارات فاطمی) بخواند. پولیا تلاش می کند توضیح بدهد که چگونه گاوس توانسته است این گونه فکر کند(خیلی های دیگر هم تلاش کرده اند این را توضیح دهند، معروف ترین آنها، دار و دسته ی معروف به گشتالتی ها. ولی چون نوشته ها به فارسی نیست آنها را معرفی نمی کنم.) خلاصه اینکه، همین که این همه آدم سعی کرده اند توضیح بدهند، نشان می دهد که آن کاری که گاوس کرده است بیشتر از اون یه کادری که در کتاب درسی به اون اختصاص داده شده، پیچیدگی دارد. من هم در اینجا تلاش خودم را می کنم که آن را توضیح دهم و این را روشن کنم که چرا کار گاوسِ مجید اینها اتفاق افتادنی است ولی کار مجیدِ مجید اینها نه

تغییر ساختار  یادگرفتنی و انجام دادنی است

اول اینکه در این صد و هفتاد سالی که درس می دم (از زبان فوت اون خدابیامرز گاوس) هیچ وقت هیچ دانش آموزی در کلاسم نداشتم که حرکت گاوس رو فی ابداهه بزنه. مواردی داشتم که بعد از کلی جینگولگ بازی و یه عالمه از فعالیت های قبلی که بچه ها رو برای حرکت گاوس مهیا می کرد، یهو جرقه ای زده شده باشه. همه ی این فعالیت ها روی یه موضوع متمرکز بودن: کمک به بچه ها به تغییر ساختار مساله

یه مثال خیلی ساده بزنم. جمع زیر را انجام دهید

۶+۸+۲

شما احتمالا به روش های مختلفی به این فکر می کنید. ولی اکثر بچه ها و خیلی از بزرگ تر ها تا این رو می بیند شروع به جمع کردن می کنند با همان ساختاری که همیشه انجام می دادند: از چپ به راست. اول ۶ و ۸ را جمع می کنند و بعد ۲ را به حاصل اضافه می کنند. اینکه می شه یه تغییر ساختار ذهنی داد یادگرفتنی است و وظیفه ی معلم یاددادن اون. گفتم تغییر ساختار ذهنی، چون خیلی وقت ها وقتی به مساله نگاه می کنی واقعا لازم نیست کاری بکنی و چیزی را جابجا کنی. مثلا در مورد جمع بالا، کافی است ببینی که اگه ۸ و ۲ را اول جمع کنی، راحت تر است (البته راحت تر بودن، کاملا نسبی است؛ ولی باید ببینی که شدنی است، حالا می توانی انتخاب کنی، انجامش ندهی.) نکته ی خیلی مهم این است که برای یه بچه امکان پذیر است که این تغییر ساختار را به طور خود جوش انجام دهد. و این همان اتفاقی است که برای گاوس افتاد

اما چرا مجید، گاوس نیست

مجیدِ کتاب های درسی یهو یه حرکتی می زنه که دستاورد یه دوره ی فکری است و دستاورد چند ریاضی دان. مثلا اثباتی که رضای مجید اینها در کلاس نهم برای مجموع زوایه های مثلث ارایه می دهد دستاورد تلاش هایی است که به هندسه ی اقلیدسی ختم شد. توجه کنید، رضای کلاس نهمی فقط مجموع زوایا را ثابت نمی کند بلکه اثبات خود را در یک نظام اقلیدسی ارایه می دهد. یعنی اینکه اول می گوید اصول قبلی ما چه هستند و بعد آن را در اثبات به کار می گیرد.  این ها را در کلاس نهم و در اولین فصلی انجام می دهد که با استدلال آشنا می شود. و همه ی اینها وقتی اتفاق می افتد که هیچ دلیلی برای اتفاق افتادن آن وجود ندارد. مثلا، مریم در کلاس هشتم در حالی که ماشین حساب دارد، برای محاسبه ی جذر تقریبی از روشی استفاده می کند که توسط نیوتون و بولزانو به کار گرفته شد. فرض کنیم شدنی باشد، سوال اینجاست که اصلا چرا در حالی که ماشین حساب دارد این کار را بکند

حالا چی

حالا اینکه شما اگر معلمید، خواهش می کنم داستان های واقعی خودتان را با فعالیت های واقعی خودتان با بچه های واقعی خودتان خلق کنید

Categories
Proof Textbook قصه های مجید

قصه های مجید، فصل پنجم

این قسمت: وقتی مجید به نویسنده ی قصه هایش هم رحم نمی کند

اول از آمنه ابراهیم زاده، دانشجوی قدیم ام و دوست سال های جدیدم تشکر کنم که این معدن «طلا» را از کتاب ریاضی نهم برایم فرستاد

راستش همین تیکه، می تواند خوراک همه ی روزهای قرنطینه ام باشد. ولی چون قول داده ام که هر قصه فقط قصه ی یک موضوع باشد، این داستان را فقط به حسینِ مجید اینها اختصاص می دهم

حسینِ مجید اینها کیست

حسینِ مجید اینها از این توانایی برخوردار است که چند مثلث مختلف با حالت های گوناگون بکشد و زوایای آنها را اندازه بگیرد و ببیند که مجموع زوایای داخلی برابر ۱۸۰درجه است و نتیجه بگیرد که مجموع زوایای داخلی هر مثلث ۱۸۰ درجه است

حتما شما که مجید را می شناسید اکنون اعتراض خواهید کرد که اینکه حرکت مجید گونه ای نیست. هست، چون از امثال من و شما و دانش آموز من و شما برنمی آید. مثلا این مثلثی است که من همین الان کشیدم و زاویه های آن را اندازه گرفتم

امیدوارم به توانایی حسینِ مجید اینها الان پی برده باشید. راستش این توانایی خیلی قلب من را به درد آورد. چون وقتی این دست به قلم، دانش آموز راهنمایی ای بیش نبود، معلم ریاضی اش او را از کلاس انداخت بیرون چون هی مثلث هایی می کشید که مجموع زوایای داخلی آنها ۱۸۰ درجه نبودند!!!ا

حالا چی

حالا اینکه این واقعیت که مجموع زوایای داخلی هر مثلثی ۱۸۰ درجه است یکی از بهترین مسایل برای درک معنی اثبات در هندسه و درک معنی این است که ما چه چیزی را اثبات می کنیم. نکته ی خیلی حیاتی این است که وقتی اندازه می گیریم، باید خوش شانس باشیم که مجموع زوایا بشه ۱۸۰. بعد اگه مثل این دست به قلم هی به ماجرا گیر بدین و دقت اندازه گیری رو بالا ببرین و سعی کنید زاویه ها را با یکی دو رقم اعشار اندازه بگیرید، هی کار خراب تر می شه چون هی عددی که به دست می آد حول و حوش ۱۸۰ است و نه ۱۸۰. پس اولین سوال جدی که یه دانش آموز باید درک کنه اینه که وقتی ما داریم ثابت می کنیم مجموع زوایای هر مثلثی ۱۸۰ است، داریم چی رو ثابت می کنیم یا اینکه منظورمان چه مثلثی است

نکته ی بعدی این است که داشتن صداقت علمی چیز خوبی است و ای کاش در «برنامه ی درسی ملی» که کتاب های درسی را بر مبنای آن تالیف کرده اند بنویسند: رعایت صداقت علمی از اهم واجبات است

و آخر اینکه نمی توانم بر وسوسه ی پرسیدن این سوال غلبه کنم که «مهدی شکل زیر،» در کجای شکل است (به مهدی قصه نگاه کنید)ا

Categories
Textbook قصه های مجید

قصه های مجید، فصل چهارم

این قسمت: مریمِ مجید اینها

در قصه های مجید ۲ ، ناراحتی خودم را از اینکه مریم حرکت مجید گونه ای نمی زند ابراز کردم. اکنون به اطلاع می رسانم که مریمِ مجید اینها، بالاخره استعداد مجید گونه ی خود را در کلاس هشتم بروز می دهد

مریم در کلاس هشتم

این مریم است

برای اینکه میزان محتمل بودن این مکالمه را بهتر درک کنیم، باید نگاهی به پیشینه ی آموزش مریم بیاندازیم. پس در یک فلش بک سری به کلاس هفتم می زنیم

اول اینکه آفرین به مریم، که آخرهای کلاس هشتم، این فعالیت از کلاس هفتم یادش هست.  علاوه بر این، در کلاس هفتم، مولفینِ مجید اینها، به این حرکت هوشمندانه که می شود از نقطه ی وسط برای یک تقریب اولیه استفاده کرد اشاره نمی کنند. اشکالی ندارد، چون جمشید کاشانی هم به خاطر خیلی چیزها، از جمله روش پیدا کردن جذر اعداد با هر دقتی، معروف است، متوجه این حرکت به نظر ساده نمی شود (با کمال خوشحالی اضافه کنم که کتاب مفتاح الحساب کاشانی بالاخره پارسال به فارسی منتشر شد؛ در همین کتاب است که او روش خودش را بیان می کند). این هم اشکالی ندارد، البته این هم که کاشانی متوجه این حرکت ساده نشد، اشکال نداره، چون تا پانصد سال بعد و ریاضی دانی به اسم برنارد بولزانو، کسی متوجه ی اون نشد. البته نیوتون هم یه روش داره که خیلی به این شبیه است

پس به قول بچه محل ها، دم مریمِ مجید اینها گرم. فقط یه نکته ای که در ادامه کار من رو گیج کرد این بود

راستش هر چی فکر می کنم نمی فهمم که اگه مریم اینها ماشین حساب داشتن، چرا از همون اول از اون برای پیدا کردن جذر استفاده نکردن!!!ا

حالا چی

یه پروژه کوچیک برای خواننده با توجه به نحوه ی تمام شدن داستان به شکل زیر

لطفا من را قانع کنید که انتخاب ۵/۸به جای ۵/۹با توجه به آموزش های گذشته ی دانش آموزان معنی دارد. توجه کنید من می دانم چرا، سوال این است که آن دانش آموز از کجا باید بداند. برای اینکار اگر یک فلوچارت از قمست هایی از کتاب های درسی که منجر به این انتخاب می شود را بفرستید، عالی خواهد بود. اگر چنین چیزی وجود داشته باشد من این سوال را پس خواهم گرفت که آدم چقدر باید اعتماد به نفس داشته باشد که با این آموزشی که داده انتظار داشته باشد یک نفر جواب  سوالی که در آخر کادر بالا پرسیده شده است را بدهد که «اگر این دانش آموزان بخواهند به کمک روش بالا مقدار جذر را تا دو رقم اعشار حساب کنند، چگونه باید این کار را انجام دهند؟»ا

Categories
Teaching Ideas Textbook قصه های مجید

قصه های مجید، فصل سوم

این قسمت: وقتی مریم نپرسیده می جوابد

اول اینکه می دانم ادبیات عنوان این قسمت چندان درست نیست. ولی وقتی داستان را بخوانید متوجه ی چرایی انتخاب آن خواهید شد

دوم اینکه در قصه های مجید ۲ قول داده بودم که این قسمت در مورد گاوسِ مجید اینها بنویسم. ولی همینطور که داشتم کتاب های درسی را ورق می زدم، هی خوراک های مختلفی به خوردم داده می شد، اینقدر داده شد که دارم این را می نویسم و بعدا در مورد گاوسِ مجید اینها می نویسم (راستش در موردش هنوز افکار خودم هم جمع و جور نیست.)ا

اما این قسمت را با پیغام آن شروع می کنم: برای سوال نپرسیده، جواب ننویسید

و اگر کنجکاوید این یعنی چی به این تکه از کتاب ریاضی دهم نگاه کنید

من اگه جای این معلم بودم، احتمالا می پرسیدم خوب حالا از اینکه قطر را حساب کردیم چه کمکی می تونیم بگیریم. اگر چه خدایشش اصلا نمی دونم چرا از همون اول به جای یه مثلث قایم الزاویه با یه زاویه  ۴۵ درجه، یه مربع کشیده شده! خوبیش اینه که مریم این ها به این کارها کار ندارند و همینطوری جواب می دهند.  اون مریم آخری خیلی جالب است (نه به این دلیل که اسمش واقعا مریم است) بلکه به این دلیل که یه جوری می گه «اکنون» انگار که می خواد برای حساب کردن تانژانت از تقسیم سینوس بر کسینوس استفاده کنه ولی بعد رکب می زنه و از ضلع مقابل به مجاور استفاده می کنه.  خوب یه نفر نیست بگه پس دیگه «اکنون» گفتن ات چی بود 

حالا چی

حالا اینکه «جواب سوال نپرسیده را دادن» پدیده ای است که همه ی ما باید هر لحظه از آن آگاه باشیم و این من و تو نداره. مثلا در یکی از کلاس هایی که اخیرا داشتم، یکی از بچه ها برام نوشت

Also we don’t always follow the points your trying to make as we can see you have an answer but we don’t always feel we know the start of the problem

که فارسی اون این می شه که ما می دیدیم تو داری به یه چیزی جواب می دی ولی نمی دیدیم اون چیه که داری به اون جواب می دی

چون این روزها دعوت به چالش مد است، شما را به این چالش دعوت می کنم که به کتاب های درسی نگاه کنید و ببیند کجاها در این تله افتاده است و آن را در کامنت ذکر کنید (اگر دوست دارید). خودتان هم که مواظب باشید دیگه

آخر اینکه من خیلی سعی می کنم که هر کدوم از این نوشته ها فقط به یک موضوع بپردازه. ولی با توجه به قصه های مجید ۲ باید بگم مریم های قصه های مجید ۳ به هر حال اوضاع بهتری دارند. اگر چه کتاب دهم، دو سه تا مجید واقعا نابغه دارد که این مریم ها به گرد پایشان هم نمی رسند. به این موضوع وقتی گاوس مجید اینها را نوشتم برخواهم گشت

Categories
Textbook قصه های مجید

قصه های مجید، فصل دوم

این قسمت: وقتی مجید فکر می کند، مریم اندازه می گیرد

با مجید آشنا شدیم. این قسمت با مریم داستان آشنا می شویم. (فکر نکنم هوشنگ مرادی کرمانی به این فکر کرده بود). همین اول هم بگم که مریم خواهر مجید است که خدایی نکرده فکرهای بدی در ذهن بچه ی دوم دبستان ایجاد نشه

مریم کیست

این مریم است

 مریم دوم دبستان است. مریم نمی داند چقدر پول دارد. مریم نیاز به کمک معلم دارد که بداند چقدر پول دارد. (البته معلم هم به نظر نمی رسد در نهایت کمکی کرده باشد چرا که مریم در نهایت نمی فهمد که این دویست و سی و یک چی است، ریال است، تومان است، هویج است، چی است؟ از بحث منحرف نشیم). مریم حرکت هیچان انگیزی نمی زند. بیتشر اوقات مشغول اندازه گیری چیزی است. در این موارد هم معمولا نتیجه خاصی نمی گیرد و ما باید برای او فکر کنیم

شاید به همین دلیل است که تکالیف اش را مجید برایش انجام می دهد

مریم کجاست

اینها که سمیه بودند و زینب و ریحانه. پس مریم کی بود. مریم نماینده ی همه دخترهایی بود که بعدا می شن مریم میرزاخانی و خودشان را در این دخترهای کتاب نمی یابند

حالا چی

حالا اینکه این داستان مجید و مریم ادامه دارد و الان خیلی کنجکاوم بدانم هر کدام بزرگ تر که می شوند (در کتاب های ریاضی بعدی) چگونه شخصیتی خواهند بود و چگونه تفکری خواهند داشت. این یعنی اینکه آنچه نوشتم فقط مشاهده ی من است از کتاب دوم دبستان. خوشبختانه، مریم های کتاب های دیگر به نظر می رسد بهتر باشند (مثال هایی که زهره پندی برایم فرستاده اند، مثلا فاطمه ی کلاس پنجم و شهرزاد کلاس ششم، دخترهای مستقلی هستند که از آنچه یادگرفته اند در زندگی استفاده می کنند) و فکر می کنم مریم از همین راضی باشد. اما هیچکدام از آنها مجید نمی شوند. پس کنجکاوی ام را اینگونه اصلاح کنم: آیا در کتاب های دیگر، مریمی هست که برای خودش مجیدی باشد! لطفا اگر مثالی دارید برایم بنویسید. شرط اینکه یک نفر مجید باشد این است که از خودش دانشی را ابراز کند که به او داده نشده است. دو نکته را تاکید کنم

اول اینکه منظورم از این کنجاوی این نیست که از اضافه شدن مریمِ مجید اینها هم به کتاب استقبال کنم، چون جای خود مجیدِ مجید اینها هم در کتاب نیست

دوم اینکه، واقعا مثال هایی هست که مجیدی در مدرسه، دانشی را از خودش ابراز کرده است که به او داده نشده است و اتفاقا ما به چنین مجید هایی نیاز داریم. معروف ترین مثال، گاوسِ مجید اینهاست که وقتی در دبستان بود اعداد یک تا صد را یه جوری جمع کرد که روح معلم اش هم خبر نداشت. اما چنین مثال هایی، باور پذیر هستند. در مورد اینکه چه چیزی یک مجید را باورپذیر می کند و یکی را نه، در قصه های مجید ۳ خواهم نوشت   

Categories
Textbook قصه های مجید

قصه های مجید، فصل اول

این قسمت: وقتی به مجید وحی می شود

راستش مدت هاست که می خواستم در مورد استفاده از حسن و حسین و آیدا و آلاله در کتاب های درسی بنویسم ولی هی نمی شد. ولی حالا که جز نوشتن کاری ندارم دیگه نشد که ننویسم. اول می خواستم از کتاب اول دبستان تا آخر دبیرستان برم و یه چیزی در مورد همه ی اونها بنویسم. ولی وقتی شروع کردم، خود کتاب دوم دبستان اونقدر «غنی» بود که اصلا دیگه لازم نشد خیلی برم اون ور تر! ولی قول می دهم به تدریج در مورد همه ی آنها بنویسم (ولی برای این کار نیاز به کمک دارم که آخر این نوشته خواهم گفت چیست). اینها را به دلیلی که خواهید دید تحت عنوان قصه های مجید می نویسم (بعدا سر فرصت هم تکلیف خودم را هوشنگ مرادی کرمانی روشن خواهم کرد که بدون اجازه ی من از این عنوان استفاده کرده!)ا

فکر کنم، آنها که با کتاب های درسی آشنا نیستند، هنوز نمی دانند که من قرار است در مورد چی بنویسم: در مورد یه سری دانش آموز که همه جای کتاب های درسی هستند و فعال اند. این «فعال» بودن به این دلیل است که مواردی مثل اینکه «علی دو مداد داشت و سه مداد دیگر هم مادرش به او داد، حالا علی چند مداد دارد؟» مورد بحث من نیستند. و مواردی مثل زیر از کتاب دوم دبستان مورد نظر هستند

اگر چیزی را از قلم نیانداخته باشم، این اولین جایی است که این بچه های فعال سر و کله اشان به کتاب درسی باز می شود. در نگاه اول هم به نظر بی آزار می رسند. اگر چه اینکه به یه بچه ی دوم دبستان بگی خلاق باش، بعد هم چند تا مثال بزنی که فقط یه درصد خیلی کوچیک از بچه ها در اون سن ممکن است آنطور فکر کنند، احتمالا به خلاق شدن اون بچه کمک نخواهی کرد و اگر اون بچه خودش را ناتوان احساس نکند، خیلی شانس آوردی. ولی این به کنار. دانش آموزی که خیلی کنجکاوی برانگیز است، حسین است. یادتان باشد که حسین دانش آموز کلاس دوم دبستان است و با توجه به اینکه تازه صفحه ی بیست و پنج کتاب است، باید اوایل سال باشد. ادبیات فارسی مورد استفاده ی حسین هم به کنار (راستش من خیلی دوست داشتم وقتی بچه من دوم دبستان بود می توانست با چنین ادبیاتی حرف بزند). چیزی که بیشتر کنجکاوی بر انگیز است، استفاده از اصطلاح «جمع های دوقلو» است. چرا کنجکاوی برانگیزاست: چون در هیچ جای کتاب اول دبستان و تا اینجای کتاب دوم دبستان از این اصطلاح استفاده نشده. و این اولین و آخرین باری است که از آن استفاده می شود. الان، این یعنی احتمالا پدر حسین معلم ریاضی است. اون هم نه هر معلم ریاضی، معلمی که با این واژه آشنا است. این هم به کنار، چون ممکن است پیش بیاد. اما قصه ی مجید که الان می خواهم بگم، یه چیز دیگه است. به همین دلیل اسم این داستان ها قصه های مجید است نه قصه های حسین

مجید کیست

این مجید است

مجید دانش آموزی است که بیش از هزار سال فعالیت فکری بشر را در دوم دبستان انجام می دهد. مجید، آنچه را که دست آورد ریاضی دانی مانند کوشیار گیلانی محسوب می شود به طور شسته رفته تر و نظام مند تری در دوم دبستان انجام می دهد. مجید دانش آموزی است که ناگهان از کار با دسته های ده تایی و یکی ها تا اینجای کتاب، برای جمع و تفریق از روش ستونی استفاده می کند. از آنجایی که از هیچ مجیدی در ادبیات آموزش ریاضی که قادر به انجام این کار باشد سندی وجود ندارد، دانش آموزش ریاضی برای تحلیل کار این مجید به کار نمی آید. و وقتی دانش به کار نمی آید، تنها نتیجه این است که به مجید قصه ی ما وحی شده است

حالا چی

حالا اینکه از این مجید ها در کتاب های درسی فراونند. اگر شما ای خواننده محترم شماره صفحاتی از کتاب های درسی را که دانش آموزان در آن «فعال» اند را برای من بفرستی، تلاش خواهم کرد در مورد ریاضی مربوط به آن فعالیت، تاریخ آن و آموزش آن بنویسم

و شما ای مولف محترم، لطفا تفکرات خودتان را در دهان بچه های ساختگی قرار ندهید. این کار برای بچه هایی که واقعا بچه اند ضرر دارد

Categories
Number Conception Persian Teaching Ideas Textbook

عدد پی یک نسبت است

هدف اصلی این نوشته روشن کردن این موضوع است که پارگراف زیر از کتاب پنجم دبستان چگونه باید آموزش داده می شد 

اول اینکه روش کتاب به یه دلیل ساده بی معنی است. «آنها» همان کار را برای دایره ای با شعاع ۳ انجام داده اند و وقتی آنچه برای محیط یافته اند را بر قطر تقسیم می کنی، عددی که به دست  می آید، ۳/۱ است. بعد محیط را برای دایره بعدی یه جوری انجام داده اند که دقیقا عدد ۳/۱۴ بدست می آید! و البته خیلی بعید است که دانش آموز هم محیط دایره ای را که بریده همانگونه اندازه بگیرد که ۳/۱۴ به دست بیاید. تازه فرض هم کن بیاید، تنها چیز معقولی که می شود اینجا گفت این است که محیط دایره تقریبا سه برابر قطر آن است  

دوم اینکه روش کتاب به یک دلیل عمیق تر هم بی معنی است. اینکه به همه ی آنچه در خود کتاب و در کتاب های قبل از کلاس پنجم درس داده بی توجه است. اینکه فصل نسبت کتاب بچه ها را برای درک این جمله که «نسبت محیط هر دایره به قطر آن تقریبا ۳/۱۴ است» یه طرف (در این مورد امیدوارم اگر سه پست قبلی در مورد نسبت را خوانده باشید، قانع شده باشید) اینکه قبل از این قسمت، یک مثال از تقسیم منجر به عدد اعشاری در کتاب نیست یه طرف، اینکه آیا آموزش بچه ها را برای پرش از اون خط قرمز ماقبل آخر به فرمول محیط دایره آماده کرده (که خیلی شک دارم چون این یه پرش جبری بزرگ است که بعدا در مورد آن خواهم نوشت)، این ها و خیلی چیزهای دیگه به کنار، کتاب حتی به آنچه آموزش هم داده توجه نکرده. هدف این نوشته اینه که نشون بده چه جوری می شد به درس های قبلی دانش آموزان توجه بشه

محیط دایره، داستانی که می توانست گفته شود  

با  یه چیزی شروع می کنم که شبیه شروع کتاب است

از اینجا به بعد کلا با اون یه پاراگراف کتاب فرق می کنه . پس لطفا قبل از ادامه ی خواندن حتما یه کمی با شکل بالا بازی کنید

حالا که بازی کردین، امیدوارم توجه کرده باشین که

محیط دایره بیشتر از سه برابر قطر دایره است، ولی

محیط دایره کمتر از چهار برابر قطر دایره است

یه نکته ی خیلی مهم این است که برای مشاهده ی این دو جمله نیاز ندارین بدونین محیط دایره چقدر است. به عبارتی نیاز به اینکه اون را اندازه بگیرین ندارین. کافی است اون را با قطر مقایسه کنید و مشاهده کنید که هر بار سه تا از قطر روی محیط قرار می گیره ولی محیط همیشه یه کمی بیشتر است

دوم اینکه توجه کنید که برای بیان این مشاهدات، زبان طبیعی ضرب است نه تقسیم

حالا با همین اطلاعات، اگر نسبت را درست یادگرفته باشیم می تونیم جدول نسبت ها را بکشیم. من برای راحتی فقط اعداد یک ، دو ، سه و چهار را برای قطر در جدول قرار می دم. چون همین ها منظور را خواهند رساند

در این مرحله اصلا لازم نیست که بدونیم بعد از اعشارها در ستون دوم چی قرار می گیره. ولی قدم اصلی این است که به این به شکل یه جدول تناسب نگاه کنیم. در این صورت اگر کسر نوعی نسبت است را خوانده باشید می دانید که آن ستون قرمز مهم ترین ستون است. چون اگر آن را بدانیم باقی ستون ها را می توانیم کامل کنیم

برای راحتی، به اون عدد سه و خورده ای در ستون قرمز یه اسم می دم، مثلا «پی»، حالا مثلا اگه بخوام بدونم در ستونی که سطر بالای آن عدد سه نوشته شده است، چه عددی در سطر پایین قرار می گیرد، کافی است سه را در عدد پی ضرب کنم. و به همین ترتیب برای هر ستون دیگر

اما عدد ستون قرمز را چگونه بیابیم

آنچه می خواهیم محیط دایره ای به قطر یک است. برای یافتن آن خدایی نکرده ممکن است آنچه قبلا خوانده ایم به کار بیاید. مثلا این از کلاس سوم دبستان

یا این یکی از کلاس پنجم دبستان که دقیقا سوال قبل از آن سوالی است که من این نوشته را با آن شروع کردم

حالا کافی است از آیدا و آلاله بخواهیم که همان حرکت ها را روی دایره ای به قطر یک بزنند. حتی خیلی هیجان انگیزتر اینکه می تونیم با .جیوجبرا یه دایره به قطر یک درست کنیم و آن حرکت ها را روی آن بزنیم. لطفا حتما تعداد ضلع ها را زیاد و زیاد تر کنید تا ببینید چقدر باید جلو برید برای اینکه به سه ممیز چهارده برسین

 

آنچه که باید به خاطر بسپارید

عدد پی، محیط دایره ای است به قطر یک

عدد پی، در ستون نسبت ها قرار دارد و متناظر است به عدد یک و این یعنی عدد پی یک نسبت است

حالا چی

حالا اینکه اگر کتاب می نویسید، لطفا آن را هم بخوانید

Categories
Number Conception Persian Teaching Ideas Textbook

درسی در نسبت

اگر چه شما این را در وبسایت من می خوانید باید بگویم که زهره پندی همانقدر در آن شریک است که من. او با «سفارش» ساختن فیلمی در مورد کسر کل این ماجرا را شروع کرد و هی کامنت هایش جنبه های بسیاری از «نسبت» را برای من روش کرد یا اینکه من را وادار به فکر کردن به آن جنبه ها کرد

حالا نسبت

قبل از هر چیز، چگونه نباید آن را شروع کرد: به سبک کتاب پنجم دبستان 

در این شروع دو مشکل اساسی نهفته است

مشکل اول: استفاده از نمایش کسر برای نسبت. در مورد این در پست قبلی نوشتم

مشکل دوم: استفاده از نسبت هیچ اطلاعاتی نمی دهد. این نیاز به توضیح دارد

 به شکل بالا نگاه کنید. کدام آدم عاقلی است که به جای اینکه تعداد میوه ها را بگوید، که سه انار داریم و سه پرتقال، به نسبت تعداد انارها به پرتغال ها فکر کند. این وقتی لازم است که مثلا بگوییم که داریم برای یه جشن عروسی پرتقال و انار می خریم به نسبت برابر (من که تا حالا در یه چنین جشن عروسی که تعداد پرتقال ها وانارها برابر باشه نبودم. راستش اصلا یادم نمی آد در یک جشن عروسی انار خورده باشم!) از عروسی برگردیم

 خلاصه اینکه در بیشتر موقعیت های قابل شمارش (گسسته)، نسبت فقط با تناسب معنی داره. یعنی اینکه نسبت داره یه اطلاعاتی در مورد یه نسبت دیگه به ما می ده (برای همین است که فیلم «کسری برای نسبت» با یه عالمه توپ های رنگی رنگی شروع می شه».)  مثلا نسبت پرتقال ها و انار ها درشکل بالا در مورد نسبت پرتقال ها و انارها در عروسی ای که نه من رفتم و نه شما

در مورد موقعیت های پیوسته، یه کمی تناسب مورد استفاده مخفی تر است. مثلا به «فعالیت» زیر نگاه کن   

اگر به جای اینکه شکل را حاظر و آماده  و داشتی، فقط یه مستطیل داشتی و ازت خواسته شده بود اون رو جوری رنگ کنی که مساحت قسمت رنگ شده به قسمت رنگ نشده ۳ به ۵ باشه، اونوقت ممکن بود ابتکار بزنی و شکل زیر را بکشی

به نظر می رسه، در موقعیت های پیوسته ، نسبت در مورد یک تک موقیعت داره اطلاعات خوبی می ده. ولی حواسمون باشه که در واقع اون تک موقیعت هزار جور مختلف می تونه اون تک نسبت رو نمایش بده. البته  خیلی اوقات هم اون تک موقعیت فقط یه جور امکان دیده شدن داره ولی در این صورت اعداد مورد استفاده در نسبت نقش  شمارشی ندارند . مثلا برای درست کردن شیرینی نخودچی آرد نخودچی و کره و شکر به نسبت ۲ به ۱ به ۱ استفاده می شه. برخلاف مثال سیب و انار و پرتقال، اینجا نمی تونی دو تا آرد نخودچی کنار بگذاری، ۱ دونه کره و ۱ دونه شکر و از بچه بپرسی خوب حالا نسبت آرد نخودچی به کره رو بنویس 

حالا شروع کردیم بعدش چی

راستش شروع یه جورهایی بعدش رو هم تعیین می کنه. مهم ترین نکته این است که توجه کنیم که نسبت قرار است برای منظوری مفید باشد. مثلا اگر دو تا توپ آبی داریم و سه تا قرمز، خوب می گیم دو تا آبی داریم و سه تا قرمز. ولی اگه یه عالمه توپ آبی و قرمز داریم اینکه بدونیم نسبت آبی ها به قرمزها چقدر است مفید است. ولی هر اطلاعاتی که می تونیم از دانستن نسبت آبی ها به قرمز ها بدست بیاوریم، می تونیم از دونستن اینکه چه کسری از توپ ها آبی (یا قرمز) است هم به دست بیاوریم. می تونیم از اینکه چه درصدی از توپ ها آبی (یا قرمز) است هم به دست  بیاوریم. می توانیم از دانستن احتمال کشیدن یه توپ آبی(یا قرمز) از سبد هم به دست بیاوریم. مهم این است که در بعضی موقیعت ها یکی از بیان  ها راحت تر فکر را همراهی می کند. مثلا اگه به موقعیت شیرینی نخودچی با زبان کسرها فکر کنی عمرا بتونی شیرینی را درست کنی. و اینکه اگر چه همه ی اعداد را می شود از یک بیان به بیان دیگر تبدیل کرد، بعضی از آنها در موقیعت مورد استفاده اصلا معنی ندارند. مثلا سعی کن به این فکر کنی که احتمال شکر در شیرینی نخودچی ۱ به ۵ است!!ا

      چه وقتی نسبت رو می شه با یک عدد نشان داد

اینجا دوباره به زهره پندی برمی گردیم که نوشت

به نظرم باید یه چیزی گفته بشه درباره این که نسبت رو میشه با یه عدد نشون داد .مثلا نسبت مسافت به زمان وقتی سرعت ثابته با یه عدد مثلا ۶۰ و یه واحد مثلا کیلومتر بر ساعت بازنمایی میشه

 راستش نسبت ها فقط به نظر می رسن بعضی وقت ها با یه عدد نشون داده می شن چون همیشه یه عدد دیگه هم اون ها رو همراهی می کنه. مثلا مثال مسافت به زمان رو در نظر بگیرین. فرض کنید یک خودرو مسافت ۲۴۰ کیلومتر را در ۴ساعت طی می کند. نسبت مسافت به زمان به شکل زیر است

\[۲۴۰:۴\]

که این همان 

\[۱۸۰:۳\]

که این همان

\[۱۲۰:۲\]

که این همان

\[۶۰:۱\]

است 

 در این حالت مرسوم است یک را نگوییم و به جای گفتن اینکه نسبت مسافت به زمان ۶۰ به ۱ است بگوییم سرعت ۶۰ کیلومتر بر ساعت است. ولی اینکه دوباره این کار همه جا به این خوبی جواب نمی دهد

وقتی شیطان گول مان می زند  

 به مثال سیب و پرتقال برگردیم.نسبت سیب ها به پرتقال ها ۵ به ۳ است و ما داریم هی حساب کتاب می کنیم چند تا سیب و چند تا پرتقال برای عروسی بخریم (می دانم معمولا نمی شماریم و می کشیم. حالا یه لحظه کوتاه بیاین). از آنجا که عروسی است و هی یه سری فامیل قهر می کنند و نمی آیند و یک سری فامیل هم که اصلا تا الان نمی دانستیم فامیل اند هی اضافه می شوند هی اعداد ما تغییر می کنند. طبق آخرین اطلاعات رسیده از خانواده ی دو طرف می دونیم بالاخره یکی از شرایط زیر را داریم

\[۱۰۰:۶۰\]

\[۱۵۰:۹۰\]  

\[۵۰۰:۳۰۰\]

 از آنجا که ما ریاضی مان خوب است و جیب مان خالی. به جای اینکه هی ۵ و ۳ را در یک عدد ضرب کنیم، آرزو می کردیم که آنها را بر یه عدد تقسیم می کردیم 

\[۵:۳\]

به سبک سرعت، هر دو را بر ۳ تقسیم می کنیم و به دست می آوریم

\[\frac{۵}{۳}:۱\]

و آرزو می کردیم که به همین اندازه میوه لازم داشتیم  که می شد فقط برای خودمان و همسرمان

حالا از خودمان می پرسیم این کسر پنج سوم چی را نشان می دهد. ریاضی وار می توانیم از آن شروع کنیم و برگردیم به همه ی نسبت های دیگه. ولی در این موقعیت عروسی معنی آن چیست؟ فرض کن می ری میوه فروش محل و می گی من برای هر یه دانه پرتقال، پنج سوم سیب می خوام. لطفا اگه سالم بیرون برگشتی یه کامنت زیر این پست بگذار 

حالا چی

حالا اینکه اگه حوصله کردی و این پست رو تا اینجا خوندی شایسته ی اینی که یک چایی قند پهلو بنوشی و از دیدن فیلم «کسری برای نسبت» لذت ببری