استدلال های سوراخ دار
در گروه تلگرامی «پداگوژی ریاضی باهم» که من هم با افتخار یکی از عضوهای آن هستم هی هرازگاهی سوالی از طرف عضوی از گروه مطرح می شود و هم من و هم همه اعضای گروه تا جایی که بلد باشیم سعی می کنیم پاسخ کوچکی به سوال بدهیم. نه لزوما اینکه جواب نهایی را بدهیم یا یک همچین چیزی. چون بسیاری از سوال هایی که پرسیده می شوند از جنس آموزشی هستند و چیزی به اسم جواب نهایی ندارند. ولی به هر حال سعی می کنیم هم فکری کنیم. بسیاری از سوال هایی که پرسیده می شوند و پاسخ هایی که داده می شوند خاص یک آدم یا یک کلاس درس نیستند و هر کدام از ما که با آموزش ریاضیات درگیر هستیم ممکن است در موقعیتی مشابه با آن قرار بگیریم. برای همین تصمیم گرفتم سوال هایی را که من در مورد آنها نظری داشته ام یا دارم را به اشتراک بگذرام و نظرم را هم. اول تصمیم داشتم که آنها را در تارنمای امید ریاضی به اشتراک بگذارم. ولی چون تارنمای امید زبان بسیار تر و تمیزی دارد و هی مجبورم خودم را جمع و جور کنم، تصمیم گرفتم که اول آنها را اینجا بنویسم و بعد از مدتی که سوال ها و پاسخ ها شکلی به خودشان گرفتند آنها را به طور تر و تمیز و با اضافه کردن منابع مطالعه و غیره برای تارنمای امید بنویسم.
سوال
صرف نظر از اشتباهای نوشتاری برای عمل تفریق، به نظرتون استدلال این دانش آموز در کدام قسمت از طیف اثبات قرار دارد
پاسخ
نمی دانم منظور از طیف اثبات چیست. ولی تلاش می کنم تحلیلی از این اثبات ارایه کنم و همچنین در نهایت با آنچه باور دارم جمع بندی کنم.
فرض کنید سوال این بود: زاویه داخلی متناظر به زاویه داده شده چند درجه است؟ و شما خط اول در پاسخ بالا را به عنوان جواب از دانش آموز دریافت کرده بودید (با تفریق درست). آیا جواب را می پذیرفتید؟ شاید بگویید که باید چند کلمه هم می نوشت که آن تفریق از کجا آمده است. لطفا اگر این تنها پاسخ شما به این سوال است، قبل از ادامه خواندن کمی صبر کنید و دوباره همه این پاراگراف را از اول (از فرض کنید) بخوانید
اگر به اندازه کافی فکر کرده اید، روی همین خط کلیک کنید و به خواندن ادامه دهید
هم در سوالی که من پرسیدم و هم در متن اصلی سوال امتحان همه جا فرض شده است که زاویه داده شده زاویه خارجی مثلث است و در نتیجه آن شی هندسی که از «بی» شروع می شود و به «سی» می رسد و سپس از «سی» می گذرد یک نیم خط است. و چون نیم خط است با داشتن زاویه داده شده می توان زاویه داخلی مورد نظر را پیدا کرد. اینطوری که به آن فکر کنید، دانش آموز همان کار طراح را کرده است ( و یا شاید کار شما در برخورد اولیه با سوال): اینکه چیزی را در مورد شکل هندسی داده شده فرض کرده است بدون اینکه جزو مفروضات مساله باشد. ولی کیست که این کار را نکند. حتی خود اقلیدس فرض کرد که اگر یک نقطه داخل مثلث را به یک نقط خارج مثلث وصل کنیم، حتما یک ضلع مثلث را قطع خواهد کرد، بدون اینکه آنرا تصریح کند جایی یا قبلا آنرا اثبات کرده باشد یا به عنوان اصل پذیرفته باشد. خلاصه اینکه دانش آموز هنوز استدلال خود را ازشکل جدا نکرده است نیاز به کار دارد و بدون شک هدف این متن نادیده گرفتن این مورد یا کوچک شمردن آن نیست. هدف این است که استدلال سوراخ دار اولین قدم در جهت استدلال بدون سوراخ است و وجود آن را باید غنیمت شمرد. رفتن از یکی به دیگری نیازمند کلی آموزش است ولی کارهای کوچکی هست که می توان بدون نیاز به طراحی های پیچیده انجام داد. مثلا اینکه در کنار سوال اضافه شود که «شکل تزیینی است.»
پس نوشت
از معلمی که این سوال را در باهم به اشتراک گذاشت تشکر میکنم که به جواب دانش آموز نه فقط به عنوان چیزی که می تواند درست یا غلط باشد، بلکه به عنوان شروع یک آگاهی نگاه می کند. امیدوارم این در همه ی ما عادت شود. و اینکه فقط یکی دوبار نوشتن برای تارنمای امید ریاضی من را تبدیل به چه آدم مودبی کرده است!!
، سلام آقای دکتر اصغری، ممنونم که من را متوجه کردید که انگار خودم هم به‌نوعی مبانی استدلال را بر شکل بنا کرده‌ام.
چند سال پیش یک شماره از مجله‌ی رشد آموزش ریاضی به اثبات اختصاص پیدا کرده‌بود. من متوجه شدم که اثبات در ریاضی، یک طیف هست. برای بررسی یک مسأله میشه نگاه‌های مختلفی داشت که هر کدوم متضمن اثباتی باشند.
برای ریاضیدان ها یک طیف نیست. چیزی یا اثبات است یا نیست. ولی وقتی به نظریه های آموزش اثبات نگاه کنیم آنوقت کلی دسته بندی مختلف هست و برای همین هم وقتی از «طیف اثبات» استفاده می کنیم، لزوما هر دوی ما به یک معنی از آن استفاده نخواهیم کرد. برای همین خوب است که مثلا بگیم «طیف اثبات به تعبیر فلانی» که اینهم فقط وقتی کار می کند که هر دوی ما با کار فلانی آشنا باشیم